Взаимодействие тел, полей и сред

Как было отмечено выше, кинетика имеет аксиоматическое построение. Это означает, что все методы решения кинетических задач, то есть задач статики и динамики, строятся на базе некоторой совокупности положений, принимаемых без доказательства, но с учетом многочисленных опытных данных. Первое систематическое изложение аксиом механики^* было дано И. Ньютоном^* в его сочинении " Математические начала натуральной философии", опубликованном в 1687 году. Имеется русский перевод сочинения Ньютона^* , выполненный академиком А. Н. Крыловым и напечатанный в VII томе собрания его трудов. Со времени появления " Начал " Ньютона положения этой работы неоднократно проверялись на практике. И всегда выводы, полученные с их помощью, с высочайшей степенью точности совпадали с результатами наблюдений. Настоящим триумфом механики Ньютона явилась космонавтика. Почти после каждого запуска космического аппарата сообщается, что его траектория близка к расчетной. Это можно рассматривать как документальное подтверждение справедливости методов классической механики и, прежде всего, ее аксиом. Нельзя не согласиться со знаменитым французским ученым Лагранжем^* , который назвал " Начала " Ньютона " величайшим из произведений человеческого ума ".

Но несмотря на верность правил, указываемых " Началами " для решения практических задач, неоднократно предпринимались попытки подвергнуть аксиомы механики и связанные с ними определения критике и дать их уточненные формулировки. История этих попыток насчитывает столько же лет, сколько лет самим " Началам ". Эту историю нельзя считать закончившейся и в настоящее время. По этому поводу один из ведущих ученых-механиков нашей страны академик А. Ю. Ишлинский отмечает, что "... механика Галилея-Ньютона в отличие от геометрии до сих пор надлежащим образом не аксиоматизирована ... Настало время построить классическую механику, как и геометрию, исходя из определенного числа независимых постулатов, или аксиом, установленных в результате обобщения практики".

Сформулируем основные аксиомы механики и определения, связанные с ними следующим образом.

Прежде всего, следует отметить, что в отличие от кинематики в кинетике изучаются движения только материальных тел. Для кинематики, как и для геометрии, достаточно иметь образ предмета, точно обозначив его состав и границы. Например, с помощью положений кинематики можно описать движение геометрических фигур, создаваемых светом на экране, солнечным зайчиком на стене, электронным лучом на экране осциллографа. Но эти фигуры не являются материальными телами, ибо не обладают основным признаком материи - при помещении в гравитационное поле проявлять гравитационные свойства. Другое дело - такие тела, как камень, маховик, самолет. Они обладают указанным признаком и, следовательно, являются материальными. Движения именно таких тел и изучается в кинетике^* .

Как показывает опыт, причинами, вызывающими или изменяющими движения материальных тел, а также их отдельных частей, является действие на них со стороны других материальных тел, полей и сред.

Определение. Действие на тело со стороны других материальных тел, полей и сред, которое является причиной изменения скоростей точек этого тела или положения одних частей тела относительно других, называется механическим действием.

Как показывает опыт, все материальные тела обладают способностью сопротивляться механическим действиям на них. Эта способность проявляется в том, что тело, которое подвергается механическому действию, изменяет свое движение не мгновенно, а постепенно, с течением времени. Аналогичное свойство нетрудно обнаружить в любых взаимодействиях материального мира: не сразу возникает электрический ток в проводнике при подсоединении его к источнику э.д.с; не сразу проходит свет или тепло через какое-либо тело; не сразу реагирует на сложившуюся ситуацию водитель автомобиля.

Определение. Свойство материального тела, которое проявляется в тенденции сохранять движение, предшествующее механическому действию на него, и в изменении этого движения при наличии механического действия не мгновенно, а постепенно с течением времени, называется инертностью.

Для характеристики инертных свойств материальных объектов используется целый ряд физических величин. К ним относятся: масса, момент инерции, радиус инерции, центробежный момент инерции. Одной из обобщенных характеристик инерционных свойств тела является так называемый тензор инерции. Из всех перечисленных величин основной является масса. Она характеризует не только инертные, но и гравитационные свойства тела.

Определение. Массой материального объекта называется физическая величина, которая является количественной мерой его инертных и гравитационных свойств.

Масса вводится как скалярная, положительная и постоянная величина. За единицу массы в системе СИ принята масса эталона, хранящегося в Париже. Этот эталон представляет собой тело цилиндрической формы, изготовленное из платино-иридиевого сплава. Высота и диаметр эталона равны приблизительно 39 мм. Единица массы, определяемой эталоном, называется килограммом (кг).

Одним из основных понятий кинетики является понятие материальной точки.

Определение. Материальной точкой называется точка, масса которой отлична от нуля.

Материальную точку следует рассматривать как материальную модель реального тела. В зависимости от постановки задачи за материальные точки могут приниматься отдельные тела, их бесконечно малые частицы, а также частицы жидкостей и газов.

Определение. Множество материальных точек, объединенных признаком наличия механических взаимодействий между собой, называется механической системой.

Понятие механической системы аналогично понятиям электрической, биологической, социальной систем. Примерами механических систем являются Солнечная система, любая машина или механизм. Всякое материальное тело можно также рассматривать как механическую систему, образованную множеством материальных точек, которые заполняют некоторую пространственную область.

Первая аксиома (аксиома существования инерциальных систем отсчета). В окружающем нас пространстве существуют такие системы отсчета, относительно которых материальная точка, удаленная от всех других тел на бесконечно большое расстояние, двигается равномерно и прямолинейно из любого начального положения при любом направлении начальной скорости.

Системы отсчета, обладающие отмеченным свойством, называются инерциальными. Все другие системы отсчета называются неинерциальными. Экспериментами доказано, что примером инерциальной системы отсчета с достаточной для практики точностью является система, у которой начало совпадает с центром Солнца, а оси направлены на так называемые " неподвижные " звезды. При решении большинства технических задач инерциальной можно считать систему отсчета, жестко связанную с Землей. Очевидно, если указана хотя бы одно инерциальная система, то можно указать и множество других. Все они перемещаются относительно друг друга поступательно с постоянными по величине и направлению скоростями.

Определение. Состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения изолированной материальной точки относительно инерциальных систем отсчета называется инерциальным состоянием.

При механическом воздействии на материальную точку ее инерциальное состояние нарушается. Это означает, что если на материальную точку действуют другие материальные точки, тела, поля и среды, то они двигаются с ускорением, изменяя величину своей скорости или траекторию, или и то, и другое одновременно.

Физическая величина, являющаяся количественной мерой механического действия на материальную точку, называется силой. Сила, приложенная к материальной точке при каком-то механическом действии на нее, вводится как величина векторная, направленная в ту же сторону, что и ускорение, вызванное указанным механическим действием, и по модулю пропорциональная величине этого ускорения. Коэффициент пропорциональности равен массе точки. Это постулируется в форме следующей аксиомы, называемой основной.

Вторая (основная) аксиома. Сила, приложенная к материальной точке при каком-то механическом действии на нее, равна произведению массы точки на ускорение, сообщаемое точке этим действием и измеренное в инерциальной системе отсчета.

Заметим, что термин " сила, приложенная..." предложил Ньютон^* . Этот термин лучше сочетания " сила, действующая...", ибо на точку действуют не силы, а другие материальные тела, поля и среды.

Согласно основной аксиоме формула силы записывается в виде

где - F сила, приложенная к материальной точке при каком-то механическом действии на нее, a - ускорение, вызываемое этим действием и измеренное в инерциальной системе отсчета, m - масса точки.

За единицу силы в системе СИ принята сила такого механического действия на материальную точку массой в 1 кг, которое сообщает этой точке ускорение, равное 1 м/с². Эта единица называется ньютоном (H).

Если сила, приложенная к материальной точке при каком-то механическом действии на нее, и ускорение этой точки, вызванное указанным механическим действием, известны, то можно определить массу точки. Достаточно воспользоваться формулой

Третья аксиома (аксиома сложения механических действий). Ускорение, сообщаемое материальной точке несколькими механическими действиями одновременно, равно геометрической сумме тех ускорений, которые сообщаются этой точке каждым механическим действием в отдельности.

Исходя из аксиомы сложения механических действий, строятся два основных уравнения кинетики. Для их построения предположим, что движение материальной точки массы m определяется n механическими действиями. Обозначим силу, приложенную к точке за счет i-го механического действия, F_i, а ускорение, вызванное этим действием и измеренное в инерциальной системе отсчета, a_i. Согласно основной аксиоме имеем

Согласно аксиоме сложения механических действий полное ускорение a точки определяется суммой ускорений a₁, a₂,..., a_n. Следовательно,

Уравнение такого вида, т. е. уравнение, устанавливающее зависимость между ускорением материальной точки и силами, приложенными к ней, называется основным уравнением динамики для инерциальных систем отсчета. Оно читается следующим образом: ускорение материальной точки, измеренное в инерциальной системе отсчета, равно частному от деления геометрической суммы всех сил, приложенных к точке, на ее массу.

Геометрическая сумма нескольких сил, приложенных к одной и той же материальной точке, называется равнодействующей силой, или просто равнодействующей. Обозначая равнодействующую всех сил, приложенных к точке, через F, т.е. вводя обозначение,

запишем последнее уравнение в форме: a = m^-1 F.

Основное уравнение динамики в таком виде читается следующим образом: ускорение материальной точки, измеренное в инерциальной системе отсчета, равно частному от деления равнодействующих всех сил, приложенных к точке, на ее массу.

В частном случае, если неизолированная материальная точка находится в равновесии, т.е. если она покоится или движется равномерно и прямолинейно, то основное уравнение динамики принимает вид

Равенства такого вида выражают необходимое и достаточное условие равновесия материальной точки. Оно называется основным уравнением статики, или уравнением равновесия материальной точки, и читается следующим образом: для равновесия материальной точки необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма всех сил, приложенных к ней, равнялась нулю.

Четвертая аксиома (аксиома взаимодействия материальных точек). Если одна материальная точка действует на другую, то и вторая действует на первую, причем силы, приложенные к каждой из них, равны по величине и направлены вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.

Удивительно, что на основе сформулированных четырех аксиом строится большинство методов классической (теоретической) механики, а в современной технической жизни механическая форма движения остается пока что доминирующей.

В связи с изучением и использованием методов классической механики следует обратить внимание на то, что в настоящее время " кроме наук, изучающих реально существующие формы движения в технике, природе и обществе, возникают и совершенствуются науки, охватывающие единым методом исследования различные формы движения. Так, например, теория колебаний, теория волн, теория потенциала, теория систем с обратными связями, кибернетика^** представляют науки, объединяющие весьма разнородный материал именно методами исследования. ... в этих науках невозможно без потери содержательности и доказательности исключить из рассмотрения механические явления и методы их исследования, созданные в теоретической механике многовековой работой выдающихся умов человечества " (Космодемьянский А.А. Теоретическая механика и современная техника. М., 1969.-255 c.)

Для глубокого понимания взаимодействий между телами, полями и средами важна классификация сил. Множество сил, характеризующих механические действия на материальные точки, тела и системы, классифицируются, в частности, по следующим признакам:

1. по источнику механического действия,
2. по зависимости механического действия от времени,
3. по зависимости механического действия от положения и скорости точки приложения силы,
4. по вызываемому эффекту,
5. по характеру механического действия на материальное тело,
6. по расположению источника механического действия относительно механической системы.

По источнику механического действия на материальную точку различают: силы тяготения, силы тяжести, опорные нормальные реакции, опорные касательные реакции (силы сцепления и силы трения), силы упругости, силы сопротивления, выталкивающие (архимедовы) силы, электрические и электромагнитные силы.

Формулы, выражающие зависимость этих сил от кинетических и динамических параметров, представлены в табл. 5. Там же названы источники соответствующих механических действий. В таблице использованы следующие обозначения:

m -масса материальной точки,
- постоянная тяготения,
r радиус-вектор точки,
g - ускорение свободно падающей материальной точки,
h - высота точки над поверхностью Земли,
- широта места,
r - расстояние между центром Земли и точкой,
{F₁, F₂,...,F_n} - множество других приложенных сил,
- скорость точки,
f - коэффициент трения скольжения,
c - жесткость пружины,
x - деформация пружины,
b - постоянный коэффициент (удельное сопротивление),
- удельный вес жидкости или газа,
V - объем среды, вытесненной телом,
e - электрический заряд частицы,
E - напряженность электрического поля,
H - напряженность магнитного поля,
t - время.

Таблица 5

Источники механических действий	Рисунок	Названия сил	Зависимость сил от кинематических и динамических параметров	Примечание
Большие небесные тела		Сила тяготения		Закон всемирного тяготения
		Сила тяжести		Для Земли: g=9,7805(1-h /r)2*(1+0,0053 Sin2 )
Твердые тела (опоры)		Нормальная реакция	N = f(F1, F2, ?, Fn)
		Касательная реакция		Закон Амонтона-Кулона
Упругие тела		Силаупругости		Закон Гука
		Сила сопротивления
Жидкие и газовые среды		Выталкивающая сила	= - V	Закон Архимеда
		Сила сопротивления	=-b = -b n	-при малых -при больших
Электрические и магнитные поля		Электрическая сила	1 = -e , = f(t, )	1 + 2 = сила Лоренца
		Электромагнитная сила	2 = - e/c ( x ), = f2(t, )

По зависимости от времени различают силы постоянные и переменные. Последние, в свою очередь, бывают периодическими, гармоническими, случайными. Примером постоянной силы является сила тяжести, приложенная к материальной точке при незначительных ее перемещениях относительно поверхности Земли. Периодической может быть, например, электромагнитная сила. Это будет иметь место, если напряженность магнитного поля меняется по какому-либо периодическому закону. В частном случае, если напряженность меняется по гармоническому закону, то и приложенная сила является гармонической. Другим примером гармонической силы может служить сила упругости при условии, что деформация действующего на точку упругого тела изменяется по гармоническому закону. Примером случайной силы является сила, характеризующая действие порывов ветра на антенну или самолет.

По зависимости от координат и скоростей точек приложения различают силы линейные и нелинейные. В первом случае силы выражаются через координаты точек приложения или через их скорость линейным законом, а во втором случае - нелинейными. Примерами линейных сил являются сила упругости (при малых деформациях), сила сопротивления среды (при малых скоростях). Примерами нелинейных сил являются сила тяготения, сила сопротивления среды (при больших скоростях). Деление сил на линейные и нелинейные особенно важно при решении динамических задач по определению движений точек и тел, когда все приложенные силы известны. В зависимости от наличия или отсутствия нелинейных сил решение такого рода задач сводится к интегрированию линейных или нелинейных дифференциальных уравнений.

По вызываемому эффекту соответствующего механического действия различают силы: ускоряющие, замедляющие (тормозящие), восстанавливающие, возмущающие, управляющие, стабилизирующие. Если сила направлена в ту же сторону, что и скорость точки ее приложения, то такая сила является ускоряющей. Если сила направлена противоположно скорости точки ее приложения, то она является замедляющей, или тормозящей. Одна и та же сила может быть и ускоряющей, и замедляющей. Например, при опускании материальной точки вниз сила тяжести, приложенная к ней, ускоряет движение, а при подъеме точки вверх - тормозит его. Силы сопротивления всегда являются замедляющими.

Восстанавливающей называется сила такого механического действия на материальную точку, тело или систему, при котором восстанавливается положение ее равновесия. Например, если материальная точка М, подвешенная к винтовой пружине, выведена из положения равновесия и предоставлена самой себе, то действие винтовой пружины направлено на восстановление равновесного положения точки М. Следовательно, в данном случае к точке М приложена восстанавливающая сила, и ею является сила упругости F. Но если точечный груз М подвешен к нерастяжимой нити и выведен из положения равновесия в сторону, то восстановление равновесного положения происходит за счет силы тяжести, которая и является в данном случае восстанавливающей силой.

Возмущающие силы - это такие силы, которые, наоборот, стремятся вывести точку, тело или механическую систему из положения равновесия. При этом постоянная возмущающая сила заменяет одно положение равновесия другим, переменная возмущающая сила приводит к тому, что соответствующий объект начинает совершать так называемые вынужденные колебания.

Управляющие силы характеризуют такие механические действия на материальные точки, тела и системы, которые позволяют управлять движением этих объектов. При этом под управлением понимается такое воздействие на объект, выбранное из множества других возможных воздействий на основании имеющейся для этого информации, при котором достигается наперед заданная цель. Примером управляющей силы может служить сила Лоренца, приложенная в электроннолучевой трубке к электронам от электрического и магнитного полей отклоняющих и фокусирующих систем. Управляющей может быть сила сопротивления среды (при управлении движением самолета), реактивная сила (при управлении движением космического летательного аппарата).

Стабилизирующая сила имеет некоторые сходства с управляющей силой, с одной стороны, и восстанавливающей силой, с другой. Так же как первая, она способствует управлению движением. Так же как вторая, она стремится восстановить заданное движение, нарушенное теми или иными возмущениями. В качестве стабилизирующих могут выступать силы сопротивления среды (аэродинамическая стабилизация), силы тяготения (гравитационная стабилизация). Оба эти вида стабилизации находят, например, применение при управлении движением космических летательных аппаратов.

По характеру механического действия на материальное тело различают силы сосредоточенные и распределенные. Первые характеризуют механическое действие на тело только в одной его точке, вторые - в некотором множестве точек. В зависимости от состава этого множества распределенные силы делятся на поверхностные и массовые. К первым относятся силы, приложенные к некоторому множеству точек, принадлежащих поверхности тела; ко вторым - силы, приложенные к каждой частице материального тела и пропорциональные массам этих частиц. Примером поверхностных сил могут служить силы сопротивления воздуха или воды, приложенные к точкам движущихся в них объектов (самолетов, надводных кораблей, подводных лодок и т. п.). Примером массовых сил являются силы тяжести, приложенные к каждой частице материального тела. Сумма модулей этих сил называется весом тела.

По расположению источника механического действия относительно механической системы все множество сил, приложенных к точкам системы, делят на внешние и внутренние силы. К первым относятся те силы, которые характеризуют действия на точки рассматриваемой системы со стороны материальных точек и тел, не входящих в эту систему; ко вторым - силы, которые характеризуют взаимодействие точек и тел, входящих в состав рассматриваемой системы.

В связи с исследованием механического взаимодействия тел, полей и сред в теоретической механике рассматриваются задачи трех основных типов, которые по отношению к материальной точке формулируются следующим образом:
а) зная движение материальной точки, найти неизвестные силы, приложенные к ней;
б) зная силы, приложенные к материальной точки, определить ее движение;
в) зная некоторые характеристики движения материальной точки и некоторые силы, приложенные к ней, найти такие параметры всех входящих сил, при которых точка совершает движение, удовлетворяющее некоторым ограничениям (например, минимальности времени перемещения, максимальности полета и т.п.).

Аналогично формулируются задачи теоретической механики для тел и их систем.

Рассмотрим в качестве примера решение одной из подобных задач.

Задача. Спортсмен совершает прыжок на лыжах с трамплина (рис. ). Считая, что в момент отрыва от " прыжкового стола " он имеет скорость V₀, направленную горизонтально, и пренебрегая сопротивлением воздуха, найти уравнение траектории спортсмена при полете.

Решение. На схеме полета (рис. ) изобразим общий вид траектории и покажем на ней положение спортсмена в произвольный момент времени. При этом будем рассматривать спортсмена как материальную точку. Обозначим ее через М.

Так как по условию задачи сопротивлением воздуха можно пренебречь, то при исследовании достаточно в данном случае учесть только одну силу тяжести. Обозначим ее G. Основное уравнение динамики при этом записывается в виде

где a - ускорение точки М, m - ее масса.

Для определения уравнения траектории точки М выберем систему отсчета Oxy, у которой начало отсчета совпадает с точкой отрыва спортсмена от " прыжкового стола ", ось Ox направлена вертикально вниз, ось Oy - горизонтально в сторону полета спортсмена.

Спроецируем обе части динамического уравнения на оси Ox и Oy. Получим:

где a_x, a_y - проекции ускорения точки М на оси Ox и Oy соответственно. Как было отмечено выше, эти проекции равны вторым производным по времени от соответствующих координат, т.е.

На основании динамических соотношений получаем

Проинтегрируем эти уравнения дважды по времени. Получим:

где C₁, C₂, C₃, C₄ - произвольные постоянные, g - ускорение свободно падающей материальной точки.

Так как рассматривается конкретный случай движения, то и величины C₁, C₂, C₃, C₄ должны иметь конкретные значения. Определим их из так называемых начальных условий. Последние в данном случае, очевидно, выражаются равенствами:

при t = 0: x = 0, x' = 0, y = 0, y' = V₀.

Подставим эти равенства в найденные интегралы. Получим

Следовательно, в данном случае в выбранной системе отсчета кинематические уравнения точки М имеют вид

Выразив из второго уравнения время t через координату y и подставив полученное при этом выражение в первое уравнение, найдем

Это и есть уравнение искомой траектории в декартовых координатах. Из аналитической геометрии известно, что кривая, описываемая таким уравнением, представляет собой параболу.

de.ifmo.ru

Рейтинг публикации:

0

Комментарии (0) | Распечатать

Добавить новость в: