|
Рассмотрим вращающуюся систему координат  , жестко связанную с Землей, и инерциальную систему  , связанную с эклиптикой. Ориентация земной системы координат относительно полностью определяется углами Эйлера. Для преобразования координат точки из системы в инерциальную систему необходимо выполнить три поворота: первое вращение, соответствующее изменению угла прецессии  , происходит вокруг оси  с угловой скоростью  ; второе вращение, которое приводит к изменению угла нутации  , происходит относительно линии узлов со скоростью  , где  -единичный вектор, направленный в точку  восходящего узла эклиптики; третье вращение, соответствующее изменению угла  , происходит вокруг оси  с угловой скоростью  (рис. 7.7).
 |
|
Рис. 7.7. К выводу кинематических уравнений Эйлера.
|
Следовательно, абсолютная угловая скорость вращения  системы координат , связанной с Землей, относительно инерциальной системы равна:
 |
(7.22) |
где точка обозначает производную по времени.
Чтобы найти проекции вектора  на оси земной системы координат, составим таблицу направляющих косинусов единичных векторов  , ,  относительно ортов  ,  , осей  :
Для пояснения разложения на рис. 7.7 нарисована ось с единичным вектором  , перпендикулярная линии узлов и лежащая в плоскости экватора. Проекции вектора на и равны  и  , соответственно, т.е.
Проекция на равна нулю. Проецируя вектор на оси  и  получим:
Обозначим проекции вектора на оси как  . Используя таблицу направляющих косинусов и уравнение (7.22) получим:
Уравнения (7.23) называются кинематическими уравнениями Эйлера. Они устанавливают связь между проекциями вектора угловой скорости на оси земной системы координат, углами Эйлера и их первыми производными по времени.
Для полного описания вращения тела в пространстве кинематических уравнений Эйлера недостаточно, так как в три уравнения входят шесть неизвестных величин: проекции мгновенной угловой скорости на оси земной системы координат и производные углов Эйлера  , представляющих движение оси вращения относительно инерциального пространства.
Поэтому для определения положения тела в пространстве в зависимости от сил, приложенных к телу, необходимо использовать динамические уравнения Эйлера. Совместное использование кинематических и динамических уравнений Эйлера дает возможность определить положение осей системы координат, связанной с Землей, в пространстве (т.е. описать прецессию и нутацию), а также найти положение мгновенной оси вращения относительно земной системы координат (т.е. описать движение полюсов и неравномерность вращения Земли).
Рассмотрим явление прецессии-нутации более подробно. Для этого предположим, что Земля является деформируемым телом. С Землей тем или иным способом жестко связана система координат, которая вращается с угловой скоростью относительно инерциальной системы координат. Определим вектор момента импульса (или углового момента) Земли  следующим образом:
где  -радиус-вектор элемента массы  . Интегрирование проводится по всему объему тела. Для твердого тела  , и вектор момента импульса может быть записан в матричном обозначении как (7.2):
где матрица
называется тензором инерции. Матрица  симметрична:  . Поэтому можно выбрать оси системы координат таким образом, что матрица станет диагональной (см. § 2.2) :
Оси выбранной таким образом системы координат называются главными осями инерции, а  - главными моментами инерции. Иногда ось системы координат, совпадающую с максимальным моментом инерции  , называется осью фигуры Земли. Относительно главных осей инерции уравнение (7.2) записывается в виде:
 |
(7.24) |
Вращение тела под действием момента сил  в системе, связанной с телом, описывается уравнением (7.3):
Учитывая уравнения (7.24), получим:
где точка означает дифференцирование по времени. Тогда относительно главных осей инерции векторное уравнение (7.3) можно записать в виде системы:
которая была получена Эйлером. Уравнения (7.25) называются динамическими уравнениями Эйлера и являются основными уравнениями, описывающими вращение тела. Третье из уравнений (7.25) отражает изменение угловой скорости вращения Земли при воздействии на нее аксиального (направленного по оси ) момента сил.
При изучении прецессии, нутации, движения полюса и приливов под моментом сил понимают момент, создаваемый силами притяжения Луны и Солнца. Потенциал сил притяжения (или приливный потенциал)  играет основную роль во всех этих явлениях. Если - элемент массы Земли, то сила, действующая на этот элемент со стороны Луны и Солнца, равна
Согласно определению,
где суммирование ведется по всем точечным массам, из которых состоит Земля,  - радиус-вектор от внешнего тела к каждой из этих масс. Переходя от суммы к интегралу по всему объему Земли, получим, что полный момент лунно-солнечных сил притяжения равен
 |
(7.26) |
Точное вычисление интеграла (7.26) - довольно трудная задача. Но поскольку скорость прецессии  и нутации  гораздо меньше угловой скорости вращения Земли  (примерно в  и  раз, соответственно), то можно 1) легко получить приближенные уравнения прецессии-нутации и 2) использовать более простой подход, при котором прецессия и нутация рассматривается как возмущение вращения Земли. Для этого подставим два первых кинематических уравнения Эйлера (7.23) в (7.25). Считая, что  , получим:
При выводе этих уравнений мы пренебрегли членами, которые содержат вторые производные  ,  , а также произведения  , по сравнению с членами, пропорциональными . Считалось также, что  .
Умножая второе уравнение на  и складывая оба уравнения, получим:
или
 |
(7.27) |
где  . Уравнение (7.27) называется уравнением Пуассона и является основой классической теории прецессии и нутации.
Для приближенных вычислений используем следующий прием. Момент сил, действующий со стороны Луны (Солнца) на Землю, равен моменту сил с противоположным знаком, действующему со стороны Земли на Луну (Солнце). Поэтому вычислим потенциал Земли в точке с массой, равной массе Луны или Солнца (  или  ) и совпадающей с центром Луны или Солнца. Потенциал притяжения Земли в точке с координатами  дается формулой (4.10):
где  - полярное расстояние. В разложении потенциала (4.10) кроме члена, пропорционального  , имеется второй член, пропорциональный  и зависящий от , который вызван сжатием Земли. Этот член зависит от полярного расстояния Луны или Солнца. Поэтому на массу  , расположенную на расстоянии  от центра масс Земли и полярном расстоянии , кроме центральной силы тяготения, равной  , действует сила  7.2. Вектор этой силы лежит в меридиональной плоскости, проходящей через Луну (Солнце). Компоненты силы, пропорциональной  , нет. Это вызвано предположением, что , т.е. вращательной симметрией фигуры Земли.
Следовательно, момент силы, действующий на точку с массой со стороны Земли, равен:  , - геоцентрический радиус-вектор Луны или Солнца. Используя определение векторного произведения, получим:
так как  . Дифференцируя потенциал  (4.10) по получим, что момент, действующий на Солнце, равен
 - расстояние от Земли до Солнца. Аналогично вычисляется момент, действующий на Луну. Необходимо лишь заменить  на  и на  . Из формулы видно, что момент направлен по нормали к меридиональной плоскости, проходящей через Солнце.
Проекции вектора  на оси  земной системы координат равны  , и компоненты вектора  , следовательно равны:
Так как момент сил, действующий на Землю со стороны Солнца, равен  , то, используя (7.4) и учитывая, что  , получим мгновенную угловую скорость прецессии
Знак минус говорит о том, что ось вращения прецессирует вокруг направления на северный полюс эклиптики в направлении, противоположном вращению Земли. Усреднение  в течение года дает
Подставляя значения параметров, получим, что вклад Солнца в прецессию составляет  . Так как плоскость орбиты Луны близка к плоскости эклиптики, то вклад Луны в прецессию можно оценить по этой же формуле, заменив  на . Близкое расстояние до Луны компенсирует малую по сравнению с Солнцем массу, и величина прецессии от Луны равна  в год. Полная средняя скорость прецессии равна  в год. С учетом геодезической прецессии скорость лунно-солнечной прецессии равна  в год.
Прецессия определяется параметром  , который называется динамическим сжатием Земли.
Вернемся теперь к уравнению Пуассона (7.27). Момент сил, действующий на Землю со стороны Луны и Солнца, пропорционален функции  , где  - склонение Луны или Солнца. Эта функция зависит от наклона эклиптики и лунной орбиты к экватору, эксцентриситетов лунной и земной орбит, среднего движения Земли и Луны по орбитам и т.д. Общепринятым методом вычисления этой функции является использование ряда Фурье, причем частота каждой гармоники определяется производной по времени от комбинации фундаментальных аргументов (7.33). Поэтому момент сил выражается как сумма гармоник определенных приливных частот  :
Амплитуды гармоник  вычисляются на основе используемых эфемерид.
Так как угол в уравнении (7.27) - это угол поворота Земли за промежуток времени  , то, пренебрегая неравномерностью вращения, можно написать:  . Тогда уравнение Пуассона примет вид:
 |
(7.28) |
где
 |
(7.29) |
Уравнение (7.29) представляет определение нутационной частоты  . Для этого необходимо из соответствующей приливной частоты вычесть сидерическую частоту (скорость) вращения Земли. Причины этого понятны: приливные частоты определяются относительно земной вращающейся системы координат, тогда как нутационные частоты - относительно инерциальной системы, и скорость вращения земной системы координат равняется  .
Для изучения нутации в небесной и движения полюса в земной системе координат определим нормированные частоты:  ,  , и перепишем уравнение (7.29) в виде:
 |
(7.30) |
Период нутационной гармоники и той же гармоники в движении полюса (в звездных сутках) равен:
в небесной и земной системах координат, соответственно. На основе уравнения (7.30) можно сформулировать правило: долгопериодические в инерциальной системе нутационные гармоники в земной системе имеют период, близкий к звездным суткам.
Гармоника момента сил с частотой  или в земной системе имеет частоту  или  в инерциальной системе. Этой гармонике соответствует прецессия или суточная приливная гармоника, обозначаемая как  . Часть приливных гармоник имеет период меньший, другая часть - больший, чем продолжительность звездных суток, т.е. частота  в первом случае и  во втором. Соответствующие им нутационные гармоники будут иметь отрицательные или положительные частоты. Если частота нутационной гармоники  положительна, то это означает, что направление движения оси земной системы координат под действием гармоники лунно-солнечной силы притяжения совпадает с направлением вращения Земли. Такое движение оси называется прямым. Если  , то движение оси называется обратным.
Для математического описания нутации воспользуемся уравнением Пуассона в виде (7.28). Момент сил  , как говорилось выше, периодически изменяется из-за эллиптичности орбиты Земли, эллиптичности орбиты Луны, наклона орбиты Луны к эклиптике. Эти периодические изменения вызывают периодическое движение оси мира - нутацию, которое накладывается на медленное прецессионное движение. В самом деле, интегрируя уравнение (7.28), имеем:
Здесь мы считаем, что прецессии соответствует гармоника  с частотой  ,  - комплексная константа интегрирования. Полагая теперь, что
получим окончательное выражение:
 |
(7.31) |
Первый член в правой части линейно растет со временем; этот вековой член определяет прецессию. Второй член является суммой нутационных гармоник. Действительные выражения для углов  могут быть получены выделением действительной и мнимой частей уравнения.
Из (7.31) следует, что прецессия влияет только на  . Нутация приводит к изменению как угла на величину (нутация в долготе), так и угла на  (нутация в наклоне). Как прецессия, так и нутация определяются динамическим сжатием Земли. При уменьшении сжатия прецессия и нутация также уменьшаются.
Полюс мира, движущийся относительно среднего полюса вследствие нутации, называется истинным полюсом мира. Плоскость, перпендикулярная оси, направленной в истинный полюс мира, называется истинным экватором. Нутационное движение происходит по эллипсу. Амплитуда главного члена нутации в долготе равна примерно  , период равен  суток или  года; главный член нутации в наклоне  имеет тот же период. Амплитуда этой гармоники равна примерно  и известна как постоянная нутации. Главный член нутации обусловлен несовпадением плоскости орбиты Луны с эклиптикой и попятным движением узлов лунной орбиты по эклиптике.
На эллипсоидальное главное нутационное движение накладываются петли, которые описывает истинный полюс мира с периодами от 9 лет до нескольких суток (рис. 1.1). Основными гармониками являются гармоники с периодами, равными году, половине года, половине месяца. Теория нутации МАС1980 включает 106 нутационных членов. В соответствии с принятой практикой нутация в долготе и наклоне может быть найдена по следующим формулам:
 |
(7.32) |
где
 |
(7.33) |
 - целые числа,  - фундаментальные аргументы, определяемые выражениями:
где измеряется в юлианских столетиях по 36525 суток от эпохи J2000.0 (7.9), - средняя долгота Луны.
Теория нутации МАС2000A содержит около 1500 членов; углы  выражаются в виде:
Коэффициенты  , появляющиеся в разложениях (7.34), определяются неупругими свойствами Земли и диссипацией приливной энергии.
Процедура  на языке Фортран имеется на сайте:
 . Пользователи, которым достаточна точность вычисления углов  мс дуги, могут использовать усеченное разложение (7.34) (процедура  ).
После того как по теории нутации найдены углы , можно вычислить матрицу нутации  , необходимую для преобразования между средней и истинной системами координат. Для ее определения воспользуемся рис. 7.8, на котором показан средний экватор и эклиптика на эпоху  и истинный экватор на эту же эпоху.
 |
|
Рис. 7.8. Учет нутации при преобразовании между системами координат
|
Точка весеннего равноденствия, соответствующая среднему экватору, обозначена как  , а истинному экватору - как  .
Преобразование от истинной системы к средней выполняется с использованием следующих вращений: 1) относительно оси, проходящей через точку и направленной к читателю, на угол  , 2) относительно истинной оси мира на угол , 3) относительно оси, проходящей через точку , на  . Таким образом матрица равна
 |
(7.35) |
Обратный переход (от средней системы к истинной) выполняется при помощи матрицы  :
Наклон эклиптики к экватору вычисляется по формуле (7.7).
Точный учет прецессии и нутации (переход от среднего экватора и равноденствия  к истинному экватору и равноденствию эпохи ) выполняется с помощью уравнения:
 |
(7.36) |
где  - единичные радиус-векторы в направлении звезды в эпохи и ; обратное преобразование равно
 |
(7.37) |
В "Астрономическом Ежегоднике" приводятся ежедневные значения девяти элементов матрицы  на текущий год (эпохой является J2000.0).
http://www.astronet.ru/db/msg/1190817/node47.html
Источник: nashivkosmose.ru.
Рейтинг публикации:
|
