Прецессия и нутация

Вероятно, вы не раз наблюдали вращение волчка и обратили внимание на то, что его ось практически не бывает неподвижна. Под действием силы земного тяготения, в соответствии с законами вращательного движения, ось волчка перемещается, описывая коническую поверхность.

Земля — большой волчок. И ее ось вращения под действием сил тяготения Луны и Солнца на экваториальный избыток (как известно, Земля сплюснута и, таким образом, у экватора расположено как бы больше вещества, чем у полюсов) также медленно вращается.

Ось вращения Земли описывает около оси эклиптики конус с углом в 23,5°, вследствие чего полюс мира движется вокруг полюса эклиптики по малому кругу, совершая один оборот примерно за 26 000 лет. Это движение называется прецессией.

Следствием прецессии является постепенное смещение тонки весеннего равноденствия навстречу видимому движению Солнца на 50,3" в год. По этой причине Солнце ежегодно вступает в точку весеннего равноденствия на 20 мин раньше, чем оно совершает полный оборот на небе.

В результате прецессии медленно изменяется картина суточного вращения звездного неба: около 4600 лет назад полюс мира был вблизи звезды а Дракона, теперь он расположен вблизи Полярной звезды, а через 2000 лет «полярной» звездой станет у Цефея. Через 12 000 лет право называться «полярной» перейдет к звезде Веге (а Лиры), которая в настоящее время отстоит от полюса на 51

Изменение положения небесного экватора и полюса мира, а также перемещение точки весеннего равноденствия вызывает изменение экваториальных и эклиптических небесных координат. Поэтому, приводя координаты небесных светил в каталогах, изображая их на картах, обязательно указывают «эпоху», т. е. момент времени, для которого были приняты положения экватора и точки весеннего равноденствия при определении системы координат. Явление прецессии было открыто во II в. до н. э. греческим астрономом Гиппархом при сравнении долгот звезд, определенных им из наблюдений, с долготами этих же звезд, найденными за 150 лет до него греческими астрономами Тимохарисом и Аристиллом. В значительной мере прецессия возникает под действием сил тяготения Луны. Силы, которые вызывают прецессию, вследствие изменения расположения Солнца и Луны относительно Земли постоянно меняются. Поэтому, наряду с движением оси вращения Земли по конусу, наблюдаются небольшие ее колебания, названные нутацией. Под воздействием прецессии и нутации полюс мира описывает среди звезд сложную волнообразную кривую.

Скорости изменения координат звезд вследствие прецессии зависят от положения звезд на небесной сфере. Склонения разных звезд изменяются за год на величины от +20" до — 20" в зависимости от прямого восхождения. Прямые восхождения вследствие прецессии меняются более сложным образом, и их поправки зависят как от прямых восхождений, так и от склонений звезд. Для близ полюсных звезд прямые восхождения могут меняться весьма заметно даже за небольшие интервалы времени. Например, прямое восхождение Полярной звезды меняется за 10 лет почти на целый градус. Таблицы прецессии публикуются в астрономических ежегодниках и календарях.

Следует иметь в виду, что прецессия и нутация изменяют лишь ориентировку оси вращения Земли в пространстве и не влияют на положение этой оси в теле Земли. Поэтому ни широты, ни долготы мест земной поверхности из-за прецессии и нутации не изменяются и влияния эти явления на климат не оказывают.

7. Прецессия и нутация

В основе теории вращения Земли лежит закон сохранения углового момента системы, который гласит, что угловой момент замкнутой системы при равенстве момента внешних сил нулю сохраняется. Если - вектор углового момента, - момент внешних сил, то в инерциальной системе отсчета уравнение вращательного движения тела имеет вид:

(7.1)

Если , то из (7.1) следует, что .

Если на Землю действуют внешние силы, момент которых не равен нулю, то под их действием происходит изменение ориентации вектора углового момента Земли. По определению вектор углового момента равняется произведению тензора инерции на вектор угловой скорости вращения Земли :

(7.2)

Если , то из (7.1) и (7.2) следует, что векторы и будут изменять свое положение в инерциальной системе отсчета.

Под внешними силами в данной главе мы будем понимать силы притяжения Земли Луной и Солнцем^7.1. В этом случае смещение вектора углового момента Земли в пространстве называется лунно-солнечной прецессией. Так как силы притяжения и их момент меняются во времени из-за обращения Земли вокруг Солнца и Луны, то это приводит к периодическим движениям вектора углового момента Земли, которые накладываются на медленное прецессионное движение и называются нутацией.

Во вращающейся системе координат уравнение (7.1) имеет вид:

(7.3)

Уравнение (7.3) используется для определения влияния геофизических процессов, таких как перемещение масс в атмосфере и океанах, тектоническое движение плит коры Земли, землетрясений и т.д., на вращение Земли и описывает движение вектора в земной системе координат. Эти процессы приводят к изменению тензора инерции Земли, влияя, следовательно, на вращение Земли. Если считать, что атмосфера и океаны связаны с Землей и составляют с Землей замкнутую систему, то . Это значит, что вектор углового момента под действием геофизических процессов сохраняет свое положение в пространстве. Но так как из-за перемещения масс происходит изменение тензора инерции Земли, то вектор изменяет свою ориентацию относительно вектора , т.е. вектор движется относительно самой Земли. Наблюдателю, находящемуся на поверхности Земли, кажется, что Земля качается относительно оси углового момента. Поэтому иногда это движение называется качанием Земли (по-английски "wobble"), но чаще движением полюса.

Нутация и движение полюса тесно связаны друг с другом, и о точном определении этих явлений будет рассказано позже при определении небесного эфемеридного полюса.

*******************

далее - только для тех, кто не скурил учебник математики еще в начальных классах

с уважением, VP

7.1. Причины прецессии и нутации

Рассмотрим две системы координат: экваториальную и эклиптическую (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Прецессионно-нутационное движение

Системы координат определяются плоскостями небесного экватора и эклиптики и точкой их пересечения или, что эквивалентно, положением северных полюсов и .

Положение звезды относительно этих систем характеризуется экваториальными и эклиптическими координатами: и , соответственно. При смещении точек и происходит изменение сторон треугольника , то есть изменение координат звезды. Причиной смещения оси является лунно-солнечная прецессия, а оси - прецессия от планет.

Явление лунно-солнечной прецессии приводит к тому, что точка весеннего равноденствия перемещается по эклиптике навстречу Солнцу со скоростью примерно в год. В результате прецессионного движений следующее равноденствие наступает раньше, чем Солнце пройдет по эклиптике. Поэтому другое название прецессии - предварение равноденствий. Ясно, что звездный год, или время, требуемое Солнцу для совершения полного оборота (или прохождения ) по эклиптике, будет длиннее тропического года (времени между двумя последовательными прохождениями Солнца через точку весеннего равноденствия) на

За суток Солнце проходит дугу в , которая называется прецессионным смещением точки весеннего равноденствия.

На прецессионное движение оси вращения Земли накладывается колебательное движение: полюс мира описывает за 18,6 года эллипс с осями и относительно среднего положения. Это движение было названо нутацией. В результате полюс мира описывает волнистую линию на небесной сфере (рис. 7.1 и рис. 1.1).

Причиной прецессии и нутации является несферичность Земли и несовпадение плоскостей экватора и эклиптики. В результате гравитационного притяжения Луной и Солнцем экваториального утолщения Земли возникает момент сил, стремящийся совместить плоскости экватора и эклиптики (рис. 7.2).

Рис. 7.2. Объяснение прецессии и нутации

Как будет показано ниже, лунно-солнечный момент сил, вызывающий прецессию пропорционален , где - расстояние от Земли до Солнца или Луны. Из-за близости Луны к Земле главную роль в прецессионном и нутационном движении полюса мира играет не Солнце, а Луна: влияние Луны примерно в два раза больше.

Из рис. 7.2 видно, что так как , то и из векторных равенств , получим .

Пара сил и , следовательно, стремится повернуть плоскость экватора по часовой стрелке. Из-за вращения Земли такого поворота не происходит, но ориентация оси вращения изменяется: она описывает в пространстве конус, и угол между осью вращения Земли и осью равен .

Направление движения оси определим из следующих соображений. Воспользуемся для этого теоремой Резаля, которая, по существу, является интерпретацией теоремы об изменении углового момента тела (7.1):

Так как производная представляет собой "скорость" конца вектора , то можно сформулировать теорему Резаля следующим образом: скорость конца вектора углового момента тела равна моменту внешних сил, приложенных к телу.

Пусть к телу приложена сила , как показано на рис. 7.3.

Рис. 7.3. Определение скорости прецессии

Если тело не вращается, то под действием силы ось тела будет перемещаться в сторону действия силы. Если тело вращается, то действие силы вызывает прецессию оси. Для простоты будем считать, что ось направлена вдоль оси главного момента инерции, и вектор вращения также совпадает с этой осью. Момент силы относительно неподвижной точки будет направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через линию действия силы и точку . Согласно теореме Резаля конец вектора начинает двигаться в направлении момента силы со скоростью . Вектор угловой скорости прецессии направлен по нормали к плоскости, содержащей вектор (или ), так как согласно формуле для скорости точки твердого тела скорость конца вектора равна:

Тогда, учитывая, что (-главный момент инерции), получим

или

(7.4)

где -угол между векторами и угловой скорости прецессии .

Применительно к рис. 7.2 вектор направлен перпендикулярно плоскости листа в сторону от читателя, следовательно, вектор направлен в точку южного полюса эклиптики ; угол равен , . Это означает, что прецессионное движение оси происходит по часовой стрелке, если смотреть с северного полюса эклиптики. Рис. 7.2 отражает расположение Земли и Солнца вблизи момента зимнего солнцестояния: в северном полушарии - зима, в южном - лето. Нетрудно проверить, что для летнего солнцестояния (Солнце будет располагаться на рис. 7.2 слева от Земли) момент сил будет направлен в ту же сторону: перпендикулярно плоскости листа от читателя. В моменты солнцестояний момент сил, действующий на экваториальное утолщение Земли максимален; следовательно, угловая скорость прецессии максимальна. Во время равноденствий момент сил равен нулю; значит, скорость прецессии равна нулю.

В действительности мгновенная угловая скорость прецессии складывается из двух частей: первая обусловлена моментом сил притяжения Солнца, вторая - Луны. В результате этого суммарного эффекта северный полюс мира описывает на небесной сфере кривую, близкую к окружности, с угловым радиусом . Период оборота равняется лет.

Изменение расстояния между Землей и Солнцем, Землей и Луной, наклон орбиты Луны к эклиптике приводят к изменению сил, действующих на экваториальное утолщение Земли. В результате величина угла между осями и меняется: появляются вариации с периодами, равными 18,6 лет, 9,3 года, 1 и 0,5 года, 13,7 суток и т.д. Это - нутационное движение оси вращения Земли.

Притяжение планетами экваториального утолщения Земли также должно вызывать прецессионно-нутационное движение оси мира. Однако из-за большого расстояния и малой по сравнению с Солнцем массы влияние планет мало. Максимальные по амплитуде нутационные гармоники не превышают 0,25 мс дуги. В теории нутации МАС 1980 г. этот эффект не учитывался. В новых, более точных теориях, планетная нутация обязательно учитывается.

Гораздо большее влияние планеты оказывают на положение плоскости эклиптики в пространстве. По определению плоскость эклиптики есть средняя плоскость земной орбиты. Влияние планет проявляется в возмущении орбиты Земли; в результате полюс эклиптики смещается примерно на в год (рис. 7.1). Смещение полюса эклиптики (прецессия от планет) приводит к дополнительному движению точки весеннего равноденствия навстречу Солнцу на в столетие и уменьшению наклона эклиптики к экватору в настоящее время на в столетие.

Таким образом лунно-солнечная прецессия приводит к повороту плоскости экватора Земли и, следовательно, небесного экватора относительно эклиптики. Прецессия от планет приводит к изменению положения эклиптики в пространстве (рис. 7.4). На рис. 7.4 изображены положения эклиптики и экватора на две эпохи и .

Рис. 7.4. Лунно-солнечная прецессия и прецессия от планет

Одну из точек пересечения плоскости эклиптики и плоскости экватора , заданных на начальную эпоху - точку весеннего равноденствия- обозначим как . В результате прецессии от планет эклиптика изменяет положение (на рисунке это положение обозначено буквой ) и пересечет мгновенный экватор на эпоху в точке . Определим еще точку как точку пересечения эклиптики начальной эпохи и мгновенного экватора .

По определению системы координат, задающие плоскости эклиптики и небесного экватора, являются средними системами координат, а точки весеннего равноденствия называются средними. Термин "средняя система координат", используемый в астрометрии, подразумевает, что изменение положения осей систем координат относительно инерциальной системы координат при преобразовании от одной эпохи к другой происходит только из-за прецессии. Если учитывается нутация, то система координат называется истинной.

Положение экваториальной системы относительно эклиптической системы может быть задано тремя углами Эйлера: . Угол равен дуге эклиптики и называется лунно-солнечной прецессией за промежуток времени . В результате лунно-солнечной прецессии средняя мгновенная точка весеннего равноденствия смещается на запад по эклиптике из-за прецессионного движения экватора. Угол равен дуге среднего мгновенного экватора и называется прецессией от планет. В результате прецессии от планет средняя мгновенная точка весеннего равноденствия смещается вдоль среднего мгновенного экватора. Наклон мгновенной эклиптики к экватору равен , а эклиптики на начальную эпоху к экватору равен . Если, согласно Ньюкомбу, обозначить через промежуток времени в юлианских столетиях от эпохи 1900.0, то прецессионные параметры определяются следующими разложениями:

При , т.е. для любой начальной эпохи, , . В начальную эпоху, согласно исследованиям Ньюкомба, средний (по астрометрической, а не математической терминологии) наклон эклиптики к экватору равен

Так как последняя формула не содержит , то она определяет наклон эклиптики любой начальной эпохи к экватору этой же эпохи.

В соответствии с решением МАС (1976 г.), принявшим новые значения астрономических постоянных, коэффициенты разложений прецессионных параметров Ньюкомба были перевычислены. Если начальная эпоха совпадает с фундаментальной эпохой J2000.0, то разложения имеют следующий вид:

		(7.5)
		(7.6)
		(7.7)
		(7.8)

где - динамическое время в юлианских столетиях от эпохи J2000.0:

(7.9)

Наклон эклиптики к экватору на эпоху J2000.0 равен .

Годичные скорости лунно-солнечной прецессии и прецессии от планет найдем, продифференцировав уравнения (7.5) и (7.6) и уменьшив результат в 100 раз. Тогда

		(7.10)
		(7.11)

Величины называются постоянными лунно-солнечной и планетной прецессии, соответственно. Из уравнений (7.10-7.11) видно, что величины зависят от времени . Поэтому обязательно нужно указывать эпоху, для которой приводятся значения этих постоянных. Для эпохи J2000.0 постоянные лунно-солнечной и планетной прецессии равны, следовательно, , .

Обратимся теперь к рис. 7.5, на котором изображено годичное смещение в пространстве плоскостей экватора и эклиптики. Проведем круг склонений через точку и его пересечение с экватором обозначим как .

Рис. 7.5. Прецессия по прямому восхождению и склонению, лунно-солнечная прецессия и прецессия от планет.

Из-за малости прецессионных постоянных получим из треугольника , который можно считать плоским, соотношения между и :

		(7.12)
		(7.13)

Величины называются прецессией по прямому восхождению и склонению, соответственно. Значения прецессии по прямому восхождению и склонению для эпохи J2000.0 равны , .

Если исключить из постоянной лунно-солнечной прецессии вклад планетной прецессии, то получим годичную величину прецессии по долготе :

(7.14)

Принятое значение постоянной прецессии по долготе для эпохи J2000.0 равно
.

7.2. Определение матрицы прецессии

Явление лунно-солнечной прецессии заключается в повороте плоскости экватора относительно плоскости эклиптики. Если с плоскостью экватора связана система координат, то это означает, что прецессия приводит к вращению системы координат относительно инерциального пространства. Чтобы учесть влияние прецессии на координаты звезд, используем матричный метод.

Пусть положение экваториальной системы координат с началом в точке в эпоху определяется полюсом мира и плоскостью экватора, которая задается осями . Эпоха часто совпадает с одной из фундаментальных эпох (например, J2000.0). Ось направлена в точку весеннего равноденствия . В результате прецессии экватор поворачивается и в эпоху займет другое положение, определяемое полюсом и точкой весеннего равноденствия , в которую направлена ось (рис. 7.6).

Рис. 7.6. Определение прецессионных параметров Ньюкомба

Положение системы относительно определяется с помощью трех углов Эйлера, которые в обозначениях Ньюкомба имеют вид: . Согласно определению Ньюкомба дуга равна , ; угол равен углу между плоскостями экваторов. Очевидно, что дуга равна прямому восхождению восходящего узла экватора эпохи на экваторе эпохи : . Соответственно дуга равна прямому восхождению точки , отсчитываемому от точки : .

Как уже говорилось, по соглашению системы координат, изменяющие свое положение только из-за прецессии, называются средними. Следовательно, системы координат , являются средними на эпохи и . Матричное уравнение

(7.15)

определяет преобразование координат единичного вектора из средней системы в эпоху к координатам единичного вектора в эпоху . Матрица называется матрицей прецессии и определяет поворот средней системы за счет прецессии за промежуток времени . Матрица является ортогональной. Поэтому обратное преобразование от средней системы в эпоху к средней системе в эпоху легко найти, заменив на транспонированную матрицу :

(7.16)

Явное выражение матрицы прецессии легко найти, воспользовавшись матрицами вращений (3.15). Три правых поворота: первый - относительно оси на угол , второй - относительно линии узлов, с которой совмещается ось , на угол и третий -относительно оси на угол переводят систему в . Таким образом матрица преобразования координат вектора, заданных на эпоху , к координатам на эпоху равна

(7.17)

Обратное преобразование координат от эпохи на эпоху определяется матрицей :

Следовательно, при переходе от эпохи к эпохе экваториальные координаты преобразуются по матричному уравнению:

(7.18)

где координаты звезды относятся к экватору эпохи , а - к экватору эпохи .

Численные выражения прецессионных величин были найдены Ньюкомбом частично на основе теории прецессии, частично из наблюдений, в виде разложений по двум параметрам: и , причем и равны числу юлианских столетий от начальной эпохи до фундаментальной эпохи J2000.0 и произвольной эпохи от . Если начальная эпоха совпадает с эпохой J2000.0 (при этом ), разложения принимают более простой вид

		(7.19)

где - прецессии по прямому восхождению и склонению для эпохи J2000.0.

Подставляя вместо полученные выше значения, находим разложения для прецессионных величин :

		(7.20)

Международный астрономический союз рекомендовал использовать разложения (7.5-7.7) и (7.20), начиная с 1984 г. Поэтому приведенные уравнения(7.5-7.7) и (7.20) следует использовать для вычисления матрицы прецессии, начиная с 1984 г.

Матричное уравнение (7.18) является точным, но его решение требует значительных усилий. Для приближенных вычислений раньше использовались более простые формулы. Допустим, что звезда на эпоху имеет экваториальные координаты и эклиптические координаты , а на эпоху - и , соответственно. Если предположить, что за короткий промежуток времени между двумя эпохами и положение эклиптики не меняется, то, очевидно, эклиптическая широта звезды не меняется. Так как точка весеннего равноденствия смещается из-за прецессии к западу (см. рис. 7.5), то эклиптическая долгота звезды увеличится на величину , если разница эпох измеряется в годах. Таким образом изменение эклиптических координат из-за лунно-солнечной прецессии равно:

Чтобы найти изменение экваториальных координат, воспользуемся уравнением (3.11):

Предположим, что за промежуток времени наклон эклиптики к экватору не меняется, т.е. (рис. 7.5). Тогда изменение склонения связано с изменением эклиптической долготы посредством уравнения:

Воспользовавшись уравнением (3.9)

найдем, что изменение склонения равно:

Дифференцируя (3.9), получим

или, после подстановки и :

Исключить эклиптические координаты можно, используя формулу подобия (3.14). После преобразований получим, что изменение прямого восхождения звезды равно:

Таким образом, если звезда находится достаточно далеко от полюса мира и интервал времени мал (порядка года или меньше), то для перевода экваториальных координат от эпохи к эпохе можно использовать формулы:

Правые части вычисляются итерациями: на первом шаге полагают и определяют . Результатом первой итерации являются полусуммы: , . Значения , подставляют в правые части уравнений и выполняют вторую итерацию, и т.д., пока результаты -ой итерации , не будут отличаться от , на некоторую малую заданную величину.

Рассмотрим теперь вопрос влияния прецессии на скорость изменения экваториальных координат. Продифференцируем по времени уравнение (7.16):

где - единичные векторы в направлении звезды в эпохи и . Тогда

		(7.21)

причем

где точкой обозначено дифференцирование по времени. Аналогично вычисляются другие производные. Так как

то, очевидно, что прецессия влияет на скорость изменения экваториальных координат. С точностью до первого порядка . Это означает, что прецессия приводит к кажущемуся собственному движению звезд, которое может быть вычислено, если только матрица известна точно. Если углы вычисляются с ошибками, т.е. теория прецессии неточна, то эти ошибки приведут к ошибкам в собственных движениях звезд.

При наблюдениях внегалактических радиоисточников считается, что их собственные движения равны нулю. Следовательно, отличие от нуля правой части уравнения (7.21) означает неточность теории прецессии. Приравнять правую часть (7.21) нулю можно, изменив постоянные прецессии. На этом принципе основано уточнение этих постоянных из радиоинтерферометрических наблюдений.

С 1 января 2003 г. по решению Генеральной Ассамблеи МАС 2000 г. вводится новая теория прецессии-нутации взамен теории МАС1980. На основе анализа 20-летнего ряда наблюдений на РСДБ были определены поправки к (к дуге эклиптики эпохи J2000.0 между средними экваторами эпох и J2000.0) и углу между эклиптикой эпохи J2000.0 и средним экватором эпохи (см. рис. 7.4). Обозначим эти поправки как и , соответственно. Согласно принятой МАС новой теории эти поправки равны (по "Соглашениям" МСВЗ 2003 г.):

Заметим здесь, что точность определения и сильно завышена. На основе сравнения нескольких теорий прецессии-нутации можно сделать вывод, что ошибки и составляют 3-4 мс дуги.

Найдем изменение прецессионных величин . Пусть , . Тогда

. С точностью до первого порядка имеем:

Значит поправки к прецессионным величинам равны:

7.3. Математическое описание прецессии

Рассмотрим вращающуюся систему координат , жестко связанную с Землей, и инерциальную систему , связанную с эклиптикой. Ориентация земной системы координат относительно полностью определяется углами Эйлера. Для преобразования координат точки из системы в инерциальную систему необходимо выполнить три поворота: первое вращение, соответствующее изменению угла прецессии , происходит вокруг оси с угловой скоростью ; второе вращение, которое приводит к изменению угла нутации , происходит относительно линии узлов со скоростью , где -единичный вектор, направленный в точку восходящего узла эклиптики; третье вращение, соответствующее изменению угла , происходит вокруг оси с угловой скоростью (рис. 7.7).

Рис. 7.7. К выводу кинематических уравнений Эйлера.

Следовательно, абсолютная угловая скорость вращения системы координат , связанной с Землей, относительно инерциальной системы равна:

(7.22)

где точка обозначает производную по времени.

Чтобы найти проекции вектора на оси земной системы координат, составим таблицу направляющих косинусов единичных векторов , , относительно ортов , , осей :

			0
	0	0	1

Для пояснения разложения на рис. 7.7 нарисована ось с единичным вектором , перпендикулярная линии узлов и лежащая в плоскости экватора. Проекции вектора на и равны и , соответственно, т.е.

Проекция на равна нулю. Проецируя вектор на оси и получим:

Обозначим проекции вектора на оси как . Используя таблицу направляющих косинусов и уравнение (7.22) получим:

		(7.23)

Уравнения (7.23) называются кинематическими уравнениями Эйлера. Они устанавливают связь между проекциями вектора угловой скорости на оси земной системы координат, углами Эйлера и их первыми производными по времени.

Для полного описания вращения тела в пространстве кинематических уравнений Эйлера недостаточно, так как в три уравнения входят шесть неизвестных величин: проекции мгновенной угловой скорости на оси земной системы координат и производные углов Эйлера , представляющих движение оси вращения относительно инерциального пространства.

Поэтому для определения положения тела в пространстве в зависимости от сил, приложенных к телу, необходимо использовать динамические уравнения Эйлера. Совместное использование кинематических и динамических уравнений Эйлера дает возможность определить положение осей системы координат, связанной с Землей, в пространстве (т.е. описать прецессию и нутацию), а также найти положение мгновенной оси вращения относительно земной системы координат (т.е. описать движение полюсов и неравномерность вращения Земли).

Рассмотрим явление прецессии-нутации более подробно. Для этого предположим, что Земля является деформируемым телом. С Землей тем или иным способом жестко связана система координат, которая вращается с угловой скоростью относительно инерциальной системы координат. Определим вектор момента импульса (или углового момента) Земли следующим образом:

где -радиус-вектор элемента массы . Интегрирование проводится по всему объему тела. Для твердого тела , и вектор момента импульса может быть записан в матричном обозначении как (7.2):

где матрица

называется тензором инерции. Матрица симметрична: . Поэтому можно выбрать оси системы координат таким образом, что матрица станет диагональной (см. § 2.2) :

Оси выбранной таким образом системы координат называются главными осями инерции, а - главными моментами инерции. Иногда ось системы координат, совпадающую с максимальным моментом инерции , называется осью фигуры Земли. Относительно главных осей инерции уравнение (7.2) записывается в виде:

(7.24)

Вращение тела под действием момента сил в системе, связанной с телом, описывается уравнением (7.3):

Учитывая уравнения (7.24), получим:

где точка означает дифференцирование по времени. Тогда относительно главных осей инерции векторное уравнение (7.3) можно записать в виде системы:

		(7.25)

которая была получена Эйлером. Уравнения (7.25) называются динамическими уравнениями Эйлера и являются основными уравнениями, описывающими вращение тела. Третье из уравнений (7.25) отражает изменение угловой скорости вращения Земли при воздействии на нее аксиального (направленного по оси ) момента сил.

При изучении прецессии, нутации, движения полюса и приливов под моментом сил понимают момент, создаваемый силами притяжения Луны и Солнца. Потенциал сил притяжения (или приливный потенциал) играет основную роль во всех этих явлениях. Если - элемент массы Земли, то сила, действующая на этот элемент со стороны Луны и Солнца, равна

Согласно определению,

где суммирование ведется по всем точечным массам, из которых состоит Земля, - радиус-вектор от внешнего тела к каждой из этих масс. Переходя от суммы к интегралу по всему объему Земли, получим, что полный момент лунно-солнечных сил притяжения равен

(7.26)

Точное вычисление интеграла (7.26) - довольно трудная задача. Но поскольку скорость прецессии и нутации гораздо меньше угловой скорости вращения Земли (примерно в и раз, соответственно), то можно 1) легко получить приближенные уравнения прецессии-нутации и 2) использовать более простой подход, при котором прецессия и нутация рассматривается как возмущение вращения Земли. Для этого подставим два первых кинематических уравнения Эйлера (7.23) в (7.25). Считая, что , получим:

При выводе этих уравнений мы пренебрегли членами, которые содержат вторые производные , , а также произведения , по сравнению с членами, пропорциональными . Считалось также, что .

Умножая второе уравнение на и складывая оба уравнения, получим:

или

(7.27)

где . Уравнение (7.27) называется уравнением Пуассона и является основой классической теории прецессии и нутации.

Для приближенных вычислений используем следующий прием. Момент сил, действующий со стороны Луны (Солнца) на Землю, равен моменту сил с противоположным знаком, действующему со стороны Земли на Луну (Солнце). Поэтому вычислим потенциал Земли в точке с массой, равной массе Луны или Солнца ( или ) и совпадающей с центром Луны или Солнца. Потенциал притяжения Земли в точке с координатами дается формулой (4.10):

где - полярное расстояние. В разложении потенциала (4.10) кроме члена, пропорционального , имеется второй член, пропорциональный и зависящий от , который вызван сжатием Земли. Этот член зависит от полярного расстояния Луны или Солнца. Поэтому на массу , расположенную на расстоянии от центра масс Земли и полярном расстоянии , кроме центральной силы тяготения, равной , действует сила ^7.2. Вектор этой силы лежит в меридиональной плоскости, проходящей через Луну (Солнце). Компоненты силы, пропорциональной , нет. Это вызвано предположением, что , т.е. вращательной симметрией фигуры Земли.

Следовательно, момент силы, действующий на точку с массой со стороны Земли, равен: , - геоцентрический радиус-вектор Луны или Солнца. Используя определение векторного произведения, получим:

так как . Дифференцируя потенциал  (4.10) по получим, что момент, действующий на Солнце, равен

- расстояние от Земли до Солнца. Аналогично вычисляется момент, действующий на Луну. Необходимо лишь заменить на и на . Из формулы видно, что момент направлен по нормали к меридиональной плоскости, проходящей через Солнце.

Проекции вектора на оси земной системы координат равны , и компоненты вектора , следовательно равны:

Так как момент сил, действующий на Землю со стороны Солнца, равен , то, используя (7.4) и учитывая, что , получим мгновенную угловую скорость прецессии

Знак минус говорит о том, что ось вращения прецессирует вокруг направления на северный полюс эклиптики в направлении, противоположном вращению Земли. Усреднение в течение года дает

Подставляя значения параметров, получим, что вклад Солнца в прецессию составляет . Так как плоскость орбиты Луны близка к плоскости эклиптики, то вклад Луны в прецессию можно оценить по этой же формуле, заменив на . Близкое расстояние до Луны компенсирует малую по сравнению с Солнцем массу, и величина прецессии от Луны равна в год. Полная средняя скорость прецессии равна в год. С учетом геодезической прецессии скорость лунно-солнечной прецессии равна в год.

Прецессия определяется параметром , который называется динамическим сжатием Земли.

Вернемся теперь к уравнению Пуассона (7.27). Момент сил, действующий на Землю со стороны Луны и Солнца, пропорционален функции , где - склонение Луны или Солнца. Эта функция зависит от наклона эклиптики и лунной орбиты к экватору, эксцентриситетов лунной и земной орбит, среднего движения Земли и Луны по орбитам и т.д. Общепринятым методом вычисления этой функции является использование ряда Фурье, причем частота каждой гармоники определяется производной по времени от комбинации фундаментальных аргументов (7.33). Поэтому момент сил выражается как сумма гармоник определенных приливных частот :

Амплитуды гармоник вычисляются на основе используемых эфемерид.

Так как угол в уравнении (7.27) - это угол поворота Земли за промежуток времени , то, пренебрегая неравномерностью вращения, можно написать: . Тогда уравнение Пуассона примет вид:

(7.28)

где

(7.29)

Уравнение (7.29) представляет определение нутационной частоты . Для этого необходимо из соответствующей приливной частоты вычесть сидерическую частоту (скорость) вращения Земли. Причины этого понятны: приливные частоты определяются относительно земной вращающейся системы координат, тогда как нутационные частоты - относительно инерциальной системы, и скорость вращения земной системы координат равняется .

Для изучения нутации в небесной и движения полюса в земной системе координат определим нормированные частоты: , , и перепишем уравнение (7.29) в виде:

(7.30)

Период нутационной гармоники и той же гармоники в движении полюса (в звездных сутках) равен:

в небесной и земной системах координат, соответственно. На основе уравнения (7.30) можно сформулировать правило: долгопериодические в инерциальной системе нутационные гармоники в земной системе имеют период, близкий к звездным суткам.

Гармоника момента сил с частотой или в земной системе имеет частоту или в инерциальной системе. Этой гармонике соответствует прецессия или суточная приливная гармоника, обозначаемая как . Часть приливных гармоник имеет период меньший, другая часть - больший, чем продолжительность звездных суток, т.е. частота в первом случае и во втором. Соответствующие им нутационные гармоники будут иметь отрицательные или положительные частоты. Если частота нутационной гармоники положительна, то это означает, что направление движения оси земной системы координат под действием гармоники лунно-солнечной силы притяжения совпадает с направлением вращения Земли. Такое движение оси называется прямым. Если , то движение оси называется обратным.

7.4. Точные формулы учета нутации

Для математического описания нутации воспользуемся уравнением Пуассона в виде (7.28). Момент сил , как говорилось выше, периодически изменяется из-за эллиптичности орбиты Земли, эллиптичности орбиты Луны, наклона орбиты Луны к эклиптике. Эти периодические изменения вызывают периодическое движение оси мира - нутацию, которое накладывается на медленное прецессионное движение. В самом деле, интегрируя уравнение (7.28), имеем:

Здесь мы считаем, что прецессии соответствует гармоника с частотой , - комплексная константа интегрирования. Полагая теперь, что

получим окончательное выражение:

(7.31)

Первый член в правой части линейно растет со временем; этот вековой член определяет прецессию. Второй член является суммой нутационных гармоник. Действительные выражения для углов могут быть получены выделением действительной и мнимой частей уравнения.

Из (7.31) следует, что прецессия влияет только на . Нутация приводит к изменению как угла на величину (нутация в долготе), так и угла на (нутация в наклоне). Как прецессия, так и нутация определяются динамическим сжатием Земли. При уменьшении сжатия прецессия и нутация также уменьшаются.

Полюс мира, движущийся относительно среднего полюса вследствие нутации, называется истинным полюсом мира. Плоскость, перпендикулярная оси, направленной в истинный полюс мира, называется истинным экватором. Нутационное движение происходит по эллипсу. Амплитуда главного члена нутации в долготе равна примерно , период равен суток или года; главный член нутации в наклоне имеет тот же период. Амплитуда этой гармоники равна примерно и известна как постоянная нутации. Главный член нутации обусловлен несовпадением плоскости орбиты Луны с эклиптикой и попятным движением узлов лунной орбиты по эклиптике.

На эллипсоидальное главное нутационное движение накладываются петли, которые описывает истинный полюс мира с периодами от 9 лет до нескольких суток (рис. 1.1). Основными гармониками являются гармоники с периодами, равными году, половине года, половине месяца. Теория нутации МАС1980 включает 106 нутационных членов. В соответствии с принятой практикой нутация в долготе и наклоне может быть найдена по следующим формулам:

(7.32)

где

(7.33)

- целые числа, - фундаментальные аргументы, определяемые выражениями:

где измеряется в юлианских столетиях по 36525 суток от эпохи J2000.0 (7.9), - средняя долгота Луны.

Теория нутации МАС2000A содержит около 1500 членов; углы выражаются в виде:

		(7.34)

Коэффициенты , появляющиеся в разложениях (7.34), определяются неупругими свойствами Земли и диссипацией приливной энергии.

Процедура на языке Фортран имеется на сайте:
. Пользователи, которым достаточна точность вычисления углов мс дуги, могут использовать усеченное разложение (7.34) (процедура ).

После того как по теории нутации найдены углы , можно вычислить матрицу нутации , необходимую для преобразования между средней и истинной системами координат. Для ее определения воспользуемся рис. 7.8, на котором показан средний экватор и эклиптика на эпоху и истинный экватор на эту же эпоху.

Рис. 7.8. Учет нутации при преобразовании между системами координат

Точка весеннего равноденствия, соответствующая среднему экватору, обозначена как , а истинному экватору - как .

Преобразование от истинной системы к средней выполняется с использованием следующих вращений: 1) относительно оси, проходящей через точку и направленной к читателю, на угол , 2) относительно истинной оси мира на угол , 3) относительно оси, проходящей через точку , на . Таким образом матрица равна

(7.35)

Обратный переход (от средней системы к истинной) выполняется при помощи матрицы :

Наклон эклиптики к экватору вычисляется по формуле (7.7).

Точный учет прецессии и нутации (переход от среднего экватора и равноденствия к истинному экватору и равноденствию эпохи ) выполняется с помощью уравнения:

(7.36)

где - единичные радиус-векторы в направлении звезды в эпохи и ; обратное преобразование равно

(7.37)

В "Астрономическом Ежегоднике" приводятся ежедневные значения девяти элементов матрицы на текущий год (эпохой является J2000.0).

http://www.astronet.ru/db/msg/1190817/node47.html