|
7.1. Причины прецессии и нутации
Рассмотрим две системы координат: экваториальную и эклиптическую (рис. 7.1).
 |
|
Рис. 7.1. Прецессионно-нутационное движение
|
Системы координат определяются плоскостями небесного экватора и эклиптики и точкой их пересечения  или, что эквивалентно, положением северных полюсов  и  .
Положение звезды  относительно этих систем характеризуется экваториальными и эклиптическими координатами:  и  , соответственно. При смещении точек и происходит изменение сторон треугольника  , то есть изменение координат звезды. Причиной смещения оси  является лунно-солнечная прецессия, а оси  - прецессия от планет.
Явление лунно-солнечной прецессии приводит к тому, что точка весеннего равноденствия перемещается по эклиптике навстречу Солнцу со скоростью примерно  в год. В результате прецессионного движений следующее равноденствие наступает раньше, чем Солнце пройдет  по эклиптике. Поэтому другое название прецессии - предварение равноденствий. Ясно, что звездный год, или время, требуемое Солнцу для совершения полного оборота (или прохождения ) по эклиптике, будет длиннее тропического года (времени между двумя последовательными прохождениями Солнца через точку весеннего равноденствия) на
За  суток Солнце проходит дугу в , которая называется прецессионным смещением точки весеннего равноденствия.
На прецессионное движение оси вращения Земли накладывается колебательное движение: полюс мира описывает за 18,6 года эллипс с осями  и  относительно среднего положения. Это движение было названо нутацией. В результате полюс мира описывает волнистую линию на небесной сфере (рис. 7.1 и рис. 1.1).
Причиной прецессии и нутации является несферичность Земли и несовпадение плоскостей экватора и эклиптики. В результате гравитационного притяжения Луной и Солнцем экваториального утолщения Земли возникает момент сил, стремящийся совместить плоскости экватора и эклиптики (рис. 7.2).
 |
|
Рис. 7.2. Объяснение прецессии и нутации
|
Как будет показано ниже, лунно-солнечный момент сил, вызывающий прецессию пропорционален  , где  - расстояние от Земли до Солнца или Луны. Из-за близости Луны к Земле главную роль в прецессионном и нутационном движении полюса мира играет не Солнце, а Луна: влияние Луны примерно в два раза больше.
Из рис. 7.2 видно, что так как  , то  и из векторных равенств  ,  получим  .
Пара сил  и  , следовательно, стремится повернуть плоскость экватора  по часовой стрелке. Из-за вращения Земли такого поворота не происходит, но ориентация оси вращения изменяется: она описывает в пространстве конус, и угол между осью вращения Земли и осью равен  .
Направление движения оси определим из следующих соображений. Воспользуемся для этого теоремой Резаля, которая, по существу, является интерпретацией теоремы об изменении углового момента тела (7.1):
Так как производная  представляет собой "скорость" конца вектора  , то можно сформулировать теорему Резаля следующим образом: скорость конца вектора углового момента тела равна моменту внешних сил, приложенных к телу.
Пусть к телу приложена сила  , как показано на рис. 7.3.
 |
|
Рис. 7.3. Определение скорости прецессии
|
Если тело не вращается, то под действием силы ось  тела будет перемещаться в сторону действия силы. Если тело вращается, то действие силы вызывает прецессию оси. Для простоты будем считать, что ось направлена вдоль оси главного момента инерции, и вектор вращения  также совпадает с этой осью. Момент силы  относительно неподвижной точки  будет направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через линию действия силы и точку . Согласно теореме Резаля конец вектора начинает двигаться в направлении момента силы со скоростью . Вектор угловой скорости прецессии  направлен по нормали к плоскости, содержащей вектор (или ), так как согласно формуле  для скорости точки твердого тела скорость конца вектора равна:
Тогда, учитывая, что  (-главный момент инерции), получим
или
 |
(7.4) |
где  -угол между векторами  и угловой скорости прецессии .
Применительно к рис. 7.2 вектор направлен перпендикулярно плоскости листа в сторону от читателя, следовательно, вектор направлен в точку южного полюса эклиптики  ; угол равен  ,  . Это означает, что прецессионное движение оси происходит по часовой стрелке, если смотреть с северного полюса эклиптики. Рис. 7.2 отражает расположение Земли и Солнца вблизи момента зимнего солнцестояния: в северном полушарии - зима, в южном - лето. Нетрудно проверить, что для летнего солнцестояния (Солнце будет располагаться на рис. 7.2 слева от Земли) момент сил будет направлен в ту же сторону: перпендикулярно плоскости листа от читателя. В моменты солнцестояний момент сил, действующий на экваториальное утолщение Земли максимален; следовательно, угловая скорость прецессии максимальна. Во время равноденствий момент сил равен нулю; значит, скорость прецессии равна нулю.
В действительности мгновенная угловая скорость прецессии складывается из двух частей: первая обусловлена моментом сил притяжения Солнца, вторая - Луны. В результате этого суммарного эффекта северный полюс мира описывает на небесной сфере кривую, близкую к окружности, с угловым радиусом . Период оборота равняется  лет.
Изменение расстояния между Землей и Солнцем, Землей и Луной, наклон орбиты Луны к эклиптике приводят к изменению сил, действующих на экваториальное утолщение Земли. В результате величина угла между осями  и меняется: появляются вариации  с периодами, равными 18,6 лет, 9,3 года, 1 и 0,5 года, 13,7 суток и т.д. Это - нутационное движение оси вращения Земли.
Притяжение планетами экваториального утолщения Земли также должно вызывать прецессионно-нутационное движение оси мира. Однако из-за большого расстояния и малой по сравнению с Солнцем массы влияние планет мало. Максимальные по амплитуде нутационные гармоники не превышают 0,25 мс дуги. В теории нутации МАС 1980 г. этот эффект не учитывался. В новых, более точных теориях, планетная нутация обязательно учитывается.
Гораздо большее влияние планеты оказывают на положение плоскости эклиптики в пространстве. По определению плоскость эклиптики есть средняя плоскость земной орбиты. Влияние планет проявляется в возмущении орбиты Земли; в результате полюс эклиптики смещается примерно на  в год (рис. 7.1). Смещение полюса эклиптики (прецессия от планет) приводит к дополнительному движению точки весеннего равноденствия навстречу Солнцу на  в столетие и уменьшению наклона эклиптики к экватору в настоящее время на  в столетие.
Таким образом лунно-солнечная прецессия приводит к повороту плоскости экватора Земли и, следовательно, небесного экватора относительно эклиптики. Прецессия от планет приводит к изменению положения эклиптики в пространстве (рис. 7.4). На рис. 7.4 изображены положения эклиптики и экватора на две эпохи  и  .
 |
|
Рис. 7.4. Лунно-солнечная прецессия и прецессия от планет
|
Одну из точек пересечения плоскости эклиптики  и плоскости экватора  , заданных на начальную эпоху - точку весеннего равноденствия- обозначим как  . В результате прецессии от планет эклиптика изменяет положение (на рисунке это положение обозначено буквой  ) и пересечет мгновенный экватор  на эпоху в точке  . Определим еще точку  как точку пересечения эклиптики начальной эпохи и мгновенного экватора .
По определению системы координат, задающие плоскости эклиптики и небесного экватора, являются средними системами координат, а точки весеннего равноденствия  называются средними. Термин "средняя система координат", используемый в астрометрии, подразумевает, что изменение положения осей систем координат относительно инерциальной системы координат при преобразовании от одной эпохи к другой происходит только из-за прецессии. Если учитывается нутация, то система координат называется истинной.
Положение экваториальной системы относительно эклиптической системы может быть задано тремя углами Эйлера:  . Угол  равен дуге эклиптики  и называется лунно-солнечной прецессией за промежуток времени  . В результате лунно-солнечной прецессии средняя мгновенная точка весеннего равноденствия смещается на запад по эклиптике из-за прецессионного движения экватора. Угол  равен дуге  среднего мгновенного экватора и называется прецессией от планет. В результате прецессии от планет средняя мгновенная точка весеннего равноденствия смещается вдоль среднего мгновенного экватора. Наклон мгновенной эклиптики к экватору равен , а эклиптики на начальную эпоху к экватору равен  . Если, согласно Ньюкомбу, обозначить через промежуток времени в юлианских столетиях от эпохи 1900.0, то прецессионные параметры  определяются следующими разложениями:
При  , т.е. для любой начальной эпохи,  ,  . В начальную эпоху, согласно исследованиям Ньюкомба, средний (по астрометрической, а не математической терминологии) наклон эклиптики к экватору равен
Так как последняя формула не содержит , то она определяет наклон эклиптики любой начальной эпохи к экватору этой же эпохи.
В соответствии с решением МАС (1976 г.), принявшим новые значения астрономических постоянных, коэффициенты разложений прецессионных параметров Ньюкомба были перевычислены. Если начальная эпоха совпадает с фундаментальной эпохой J2000.0, то разложения имеют следующий вид:
где  - динамическое время в юлианских столетиях от эпохи J2000.0:
 |
(7.9) |
Наклон эклиптики к экватору на эпоху J2000.0 равен  .
Годичные скорости лунно-солнечной прецессии и прецессии от планет найдем, продифференцировав уравнения (7.5) и (7.6) и уменьшив результат в 100 раз. Тогда
Величины  называются постоянными лунно-солнечной и планетной прецессии, соответственно. Из уравнений (7.10-7.11) видно, что величины зависят от времени . Поэтому обязательно нужно указывать эпоху, для которой приводятся значения этих постоянных. Для эпохи J2000.0 постоянные лунно-солнечной и планетной прецессии равны, следовательно,  ,  .
Обратимся теперь к рис. 7.5, на котором изображено годичное смещение в пространстве плоскостей экватора и эклиптики. Проведем круг склонений через точку  и его пересечение с экватором обозначим как  .
 |
|
Рис. 7.5. Прецессия по прямому восхождению и склонению, лунно-солнечная прецессия и прецессия от планет.
|
Из-за малости прецессионных постоянных получим из треугольника  , который можно считать плоским, соотношения между и  :
Величины называются прецессией по прямому восхождению и склонению, соответственно. Значения прецессии по прямому восхождению и склонению для эпохи J2000.0 равны  ,  .
Если исключить из постоянной лунно-солнечной прецессии вклад планетной прецессии, то получим годичную величину прецессии по долготе  :
 |
(7.14) |
Принятое значение постоянной прецессии по долготе для эпохи J2000.0 равно
 .
7.2. Определение матрицы прецессии
Явление лунно-солнечной прецессии заключается в повороте плоскости экватора относительно плоскости эклиптики. Если с плоскостью экватора связана система координат, то это означает, что прецессия приводит к вращению системы координат относительно инерциального пространства. Чтобы учесть влияние прецессии на координаты звезд, используем матричный метод.
Пусть положение экваториальной системы координат с началом в точке в эпоху определяется полюсом мира  и плоскостью экватора, которая задается осями  . Эпоха часто совпадает с одной из фундаментальных эпох (например, J2000.0). Ось  направлена в точку весеннего равноденствия . В результате прецессии экватор поворачивается и в эпоху займет другое положение, определяемое полюсом  и точкой весеннего равноденствия , в которую направлена ось  (рис. 7.6).
 |
|
Рис. 7.6. Определение прецессионных параметров Ньюкомба 
|
Положение системы  относительно  определяется с помощью трех углов Эйлера, которые в обозначениях Ньюкомба имеют вид: . Согласно определению Ньюкомба дуга  равна  ,  ; угол  равен углу между плоскостями экваторов. Очевидно, что дуга  равна прямому восхождению восходящего узла экватора эпохи на экваторе эпохи :  . Соответственно дуга  равна прямому восхождению точки , отсчитываемому от точки :  .
Как уже говорилось, по соглашению системы координат, изменяющие свое положение только из-за прецессии, называются средними. Следовательно, системы координат , являются средними на эпохи и . Матричное уравнение
 |
(7.15) |
определяет преобразование координат единичного вектора  из средней системы в эпоху к координатам единичного вектора  в эпоху . Матрица  называется матрицей прецессии и определяет поворот средней системы за счет прецессии за промежуток времени  . Матрица является ортогональной. Поэтому обратное преобразование от средней системы в эпоху к средней системе в эпоху легко найти, заменив на транспонированную матрицу  :
 |
(7.16) |
Явное выражение матрицы прецессии легко найти, воспользовавшись матрицами вращений (3.15). Три правых поворота: первый - относительно оси  на угол , второй - относительно линии узлов, с которой совмещается ось  , на угол  и третий -относительно оси  на угол  переводят систему в . Таким образом матрица преобразования координат вектора, заданных на эпоху , к координатам на эпоху равна
 |
(7.17) |
Обратное преобразование координат от эпохи на эпоху определяется матрицей :
Следовательно, при переходе от эпохи к эпохе экваториальные координаты преобразуются по матричному уравнению:
 |
(7.18) |
где координаты звезды  относятся к экватору эпохи , а - к экватору эпохи .
Численные выражения прецессионных величин  были найдены Ньюкомбом частично на основе теории прецессии, частично из наблюдений, в виде разложений по двум параметрам: и  , причем  и равны числу юлианских столетий от начальной эпохи до фундаментальной эпохи J2000.0 и произвольной эпохи от . Если начальная эпоха совпадает с эпохой J2000.0 (при этом  ), разложения принимают более простой вид
где  - прецессии по прямому восхождению и склонению для эпохи J2000.0.
Подставляя вместо полученные выше значения, находим разложения для прецессионных величин :
Международный астрономический союз рекомендовал использовать разложения (7.5-7.7) и (7.20), начиная с 1984 г. Поэтому приведенные уравнения(7.5-7.7) и (7.20) следует использовать для вычисления матрицы прецессии, начиная с 1984 г.
Матричное уравнение (7.18) является точным, но его решение требует значительных усилий. Для приближенных вычислений раньше использовались более простые формулы. Допустим, что звезда на эпоху имеет экваториальные координаты и эклиптические координаты  , а на эпоху - и , соответственно. Если предположить, что за короткий промежуток времени между двумя эпохами и положение эклиптики не меняется, то, очевидно, эклиптическая широта звезды не меняется. Так как точка весеннего равноденствия смещается из-за прецессии к западу (см. рис. 7.5), то эклиптическая долгота звезды увеличится на величину  , если разница эпох  измеряется в годах. Таким образом изменение эклиптических координат из-за лунно-солнечной прецессии равно:
Чтобы найти изменение экваториальных координат, воспользуемся уравнением (3.11):
Предположим, что за промежуток времени  наклон эклиптики к экватору не меняется, т.е.  (рис. 7.5). Тогда изменение склонения связано с изменением эклиптической долготы посредством уравнения:
Воспользовавшись уравнением (3.9)
найдем, что изменение склонения равно:
Дифференцируя (3.9), получим
или, после подстановки  и  :
Исключить эклиптические координаты можно, используя формулу подобия (3.14). После преобразований получим, что изменение прямого восхождения звезды равно:
Таким образом, если звезда находится достаточно далеко от полюса мира и интервал времени мал (порядка года или меньше), то для перевода экваториальных координат от эпохи к эпохе можно использовать формулы:
Правые части вычисляются итерациями: на первом шаге полагают  и определяют  . Результатом первой итерации являются полусуммы:  ,  . Значения  ,  подставляют в правые части уравнений и выполняют вторую итерацию, и т.д., пока результаты  -ой итерации  ,  не будут отличаться от  ,  на некоторую малую заданную величину.
Рассмотрим теперь вопрос влияния прецессии на скорость изменения экваториальных координат. Продифференцируем по времени уравнение (7.16):
где  - единичные векторы в направлении звезды в эпохи и . Тогда
причем
где точкой обозначено дифференцирование по времени. Аналогично вычисляются другие производные. Так как
то, очевидно, что прецессия влияет на скорость изменения экваториальных координат. С точностью до первого порядка  . Это означает, что прецессия приводит к кажущемуся собственному движению звезд, которое может быть вычислено, если только матрица известна точно. Если углы вычисляются с ошибками, т.е. теория прецессии неточна, то эти ошибки приведут к ошибкам в собственных движениях звезд.
При наблюдениях внегалактических радиоисточников считается, что их собственные движения равны нулю. Следовательно, отличие от нуля правой части уравнения (7.21) означает неточность теории прецессии. Приравнять правую часть (7.21) нулю можно, изменив постоянные прецессии. На этом принципе основано уточнение этих постоянных из радиоинтерферометрических наблюдений.
С 1 января 2003 г. по решению Генеральной Ассамблеи МАС 2000 г. вводится новая теория прецессии-нутации взамен теории МАС1980. На основе анализа 20-летнего ряда наблюдений на РСДБ были определены поправки к (к дуге эклиптики эпохи J2000.0 между средними экваторами эпох и J2000.0) и углу между эклиптикой эпохи J2000.0 и средним экватором эпохи (см. рис. 7.4). Обозначим эти поправки как  и  , соответственно. Согласно принятой МАС новой теории эти поправки равны (по "Соглашениям" МСВЗ 2003 г.):
Заметим здесь, что точность определения и сильно завышена. На основе сравнения нескольких теорий прецессии-нутации можно сделать вывод, что ошибки и составляют 3-4 мс дуги.
Найдем изменение прецессионных величин . Пусть  ,  . Тогда
 . С точностью до первого порядка имеем:
Значит поправки к прецессионным величинам равны:
Источник: nashivkosmose.ru.
Рейтинг публикации:
|
