Г.Вейль: Топология и абстрактная алгебра как два способа понимания математики

Вряд ли кто-нибудь из нас сочтет удовлетворительным такой способ передачи математической истины, при котором она предстает в виде сложной цепочки формальных умозаключений и вычислений, когда мы вынуждены, так сказать, вслепую, наощупь переходить от одного звена к другому. Мы хотели бы заранее видеть конечную цель и ведущий к ней путь, хотели бы понять внутреннее основание, определяющее ход мыслей, идею доказательства, более глубокие взаимосвязи. С современным математическим доказательством дело обстоит так же, как с современной машиной или экспериментальной физической схемой: простые основные принципы лежат глубоко и едва различимы под оболочкой технических деталей. Феликс Клейн, рассматривая в своих «Лекциях о развитии математики в XIX столетии»творчество Римана, говорит: «Неопровержимые доказательства всех утверждений, несомненно, являются краеугольным камнем любой математической теории. Разумеется, математика сама судит, в каких случаях стоит поступиться строгостью доказательств. Извечный секрет необычайной продуктивности гения — в его умении находить новые постановки задач, интуитивно предугадывать теоремы, приводящие к новым значительным результатам и к установлению важных зависимостей. Не будь новых концепций, новых целей, математика с присущей ей строгостью логических выводов вскоре исчерпала бы себя и пришла в упадок, ибо весь материал оказался бы израсходованным. В этом смысле можно сказать, что математику движут вперед в основном те, кто отмечен даром интуиции, а не строгого доказательства». В методике самого Клейна главным было именно это интуитивное постижение тех внутренних взаимосвязей и отношений, основания которых различны, но там, где требовалось напрячь всю мощь изощрений логики, он в известной мере был вынужден отступать. В речи, посвященной памяти Лежёна Дирихле, Минковский противопоставил принципу минимума, который в немецкой литературе принято связывать с именем Дирихле, но который на самом деле был всесторонне разработан Уильямом Томсоном, другой, подлинный принцип Дирихле: одолевать проблему при минимуме слепых вычислений и максимуме наглядных идей; с этого принципа, говорит Минковский, началось новое время в истории математики.
Но в чем же секрет такого понимания математических фактов, в чем он состоит? В философии науки ныне вновь предпринимаются попытки противопоставить понимание, герменевтику как основу наук о духе, естественно-научному объяснению, и вокруг слов «интуиция», «понимание» возникает некий мистический ореол как свидетельство их особенной глубины и непосредственности. В математике мы предпочитаем несколько более трезво смотреть на вещи. Я не могу пускаться здесь — да это, мне кажется, было бы очень трудно сделать - в подробный анализ тех мыслительных актов, о которых пойдет речь. Но одну решающую, хотя саму по себе и не достаточную, характеристику процесса понимания я хотел бы подчеркнуть: различные стороны предмета математического исследования мы подвергаем естественному разделению, каждую сторону в отдельности осваиваем, исходя из особого, сравнительно узкого и легко обозримого набора предположений и затем возвращаемся к целому, подходящим образом объединяя частные результаты в сложное единство. Последняя, синтетическая, часть процедуры носит чисто механический характер. Все мастерство заключено в первой, аналитической части - разделении и обобщении. На протяжении последних десятилетий математика прямо-таки упивалась всякого рода обобщениями и формализациями. Однако считать, будто она стремится к общему ради общего, значит неверно понимать заключенную здесь здоровую тенденцию. Дело обстоит иначе: любое естественное обобщение упрощает, сокращая допущения, и тем самым позволяет понять определенные стороны некоторого необозримого целого. Разумеется, вполне может случиться, что обобщения в различных направлениях принесут понимание конкретного положения вещей в различных аспектах. В этом случае разговор об истинной основе, истинном источнике этого положения вещей отягчен субъективным и догматическим произволом. Для установления того, насколько естественно некоторое вычленение вместе с соответствующим обобщением, не может быть никакого другого критерия, кроме их плодотворности. Если отдельный исследователь должным образом систематизирует этот критерий, применяя процедуру, разработанную им с большей или меньшей изобретательностью и чутьем, и использует все аналогии, почерпнутые им из своего опыта, то получится не что иное, как аксиоматика. Стало быть, последняя в наши дни уже не является только методом прояснения и углубления оснований — она стала инструментом конкретного математического исследования.
Поскольку в недавние времена взоры математиков были столь сильно прикованы к общему и формализованному, по-человечески понятно, почему встречалось так много дешевых и невыразительных обобщений ради обобщений; обобщение путем разрежения, как его назвал г-н Пойа, не увеличивает математическое содержание, а лишь разбавляет добрую похлебку жидкой водицей. Но это — признак вырождения, суть дела не в этом. Клейну принадлежит следующее высказывание, сделанное им в последние годы жизни: «Математика напоминает мне огромный оружейный магазин в мирное время. Витрины ломятся от великолепнейших образцов оружия, поражающих знатока остроумной конструкцией и искусной, радующей глаз отделкой. Первоначальное назначение всех этих предметов, созданных для достижения победы над противником, отходит столь далеко на задний план, что почти полностью изглаживается из памяти». Хотя в высказывании Клейна имеется изрядная доля истины, все же в целом наше поколение считает такую оценку своих устремлений несправедливой.
Два разных способа понимания стали в наши дни особенно всепроникающими и плодотворными - это топология и абстрактная алгебра. Оба образа мысли ныне накладывают свой отпечаток на значительную часть математики. Центральное понятие действительного числа позволяет сразу объяснить, чем это вызвано. Система действительных чисел подобна двуликому Янусу: с одной стороны - это совокупность <dasFeld> алгебраических операций "+" и "х" и им обратных, с другой - континуальное многообразие, части которого связаны друг с другом непрерывно. Первый лик чисел алгебраический, второй топологический. Современная аксиоматика, при всей своей простоте, не терпит (в отличие от новейшей политики) подобного двусмысленного смешения войны и мира; она тщательно отделяет одну сторону от другой. Наконец, количественный характер (Grossen-charakter) чисел, выражающийся в отношениях < и >, занимает некое промежуточное положение между алгеброй и топологией.

Мы подвергаем континуумы чисто топологическому исследованию тогда, когда сосредоточиваем внимание только на таких их свойствах и различиях, которые сохраняются при произвольной непрерывной деформации, произвольном непрерывном отображении. От отображения требуется лишь, чтобы оно не приводило к совпадению того, что раздельно. Так, топологическим свойством поверхности является ее замкнутость, как у сферы, или открытость, как у обычной плоскости. Часть плоскости, например внутренность круга, односвязна, если любой поперечный разрез делит ее на части, в то время как круговое кольцо двусвязно, так как допускает поперечный разрез, не приводящий к распадению его на отдельные части, но такой, что после того, как он проведен, любой новый поперечный разрез приводит к распадению кольца. Любую замкнутую кривую на сфере непрерывной деформацией можно стянуть в точку, чего нельзя сделать на торе. Две замкнутые кривые в пространстве либо сцеплены <verschlingen>, либо не сцеплены. Все это примеры топологических свойств и взаимных расположении. В них зафиксированы простейшие различия, лежащие в основе любой другое более тонкой дифференциации геометрических образов; эти различия опираются лишь на идею непрерывной связи, они не предполагают никаких ссылок на особую структуру непрерывного многообразия, например, на его метрику. Такие понятия, как предел, сходимость точечной последовательности к точке, окрестность, непрерывная линия, принадлежат к тому же кругу идей.

Сделав эти предварительные замечания о топологии, или analysissitus, я хотел бы далее кратко объяснить те причины, которые привели к развитию абстрактной алгебры, и на совсем простом примере показать, как один и тот же факт может рассматриваться как с топологической, так и с абстрактно-алгебраической точки зрения.

Чистый алгебраист может производить над числами лишь четыре арифметических действия (vierSpezies): сложение, вычитание, умножение и деление. Поэтому для него область чисел замкнута, он не имеет средств для выхода за ее рамки: применяя эти операции к любым двум числам, он всегда получает число из той же области. Такая область называется полем, или областью рациональности. Простейшее поле — это совокупность рациональных чисел. Другой пример - совокупность чисел вида а + b√2, где а и b — рациональные числа. Известное понятие неприводимости многочлена зависит от области рациональности: многочлен f(x) над К, т.е. с коэффициентами из поля К, неприводим над К, если его нельзя представить в виде произведения f1(x) • f2(x) двух многочленов над К, каждый из которых не вырождается в константу. Решение линейных уравнений, нахождение наибольшего общего делителя двух многочленов с помощью алгоритма Евклида происходит над определенной областью рациональности, которой принадлежат коэффициенты соответственно уравнений и многочленов. Классической задачей алгебры является решение алгебраического уравнения f(x) = 0 с коэффициентами из поля К, например, из поля рациональных чисел. Если корень θ этого уравнения нам известен, то известны и все числа, которые с помощью четырех действий можно получить из в (и чисел, образующих поле К, которые предполагаются известными): все эти числа образуют поле К (θ), являющееся расширением поля К. Внутри числового поля К (θ) корень θ играет роль определяющего числа, позволяющего получить все остальные рациональные числа. Но в роли θ могут выступать и многие другие, почти все числа из К(θ). Поэтому вместо уравнения f(x) = 0 мы можем изучать поле К(θ), и этот переход означает большой шаг вперед ибо совершая его, мы снимаем несущественное и одинаково охватываем все уравнения, которые можно получить из уравнения f(x) = 0 с помощью преобразования Чирнгаузена. Алгебраическая и прежде всего арифметическая теория числовых полей — одно из величественных творений математики; по богатству и глубине результатов его можно, пожалуй, назвать наиболее совершенным творением.

Но в алгебре встречаются и такие области рациональности, элементы которых не являются числами. Многочлены одной переменной, или неизвестной, х образуют область величин, в которой можно производить сложение, вычитание и умножение, но, конечно, не деление. В этом отношении многочлены подобны тем рациональным числам, которые являются целыми. Совокупность величин с такими свойствами называется областью целостности, или кольцом. Алгебре чуждо представление о том, что аргумент х есть переменная, непрерывно пробегающая свои значения; он есть для нее лишь неопределенная величина, пустой знак, служащий дня того, чтобы коэффициенты многочлена можно было охватить единым выражением, с которым легко связать правила сложения и умножения многочленов. Нуль - это такой многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю (а не многочлен, принимающий нулевое значение при всех значениях переменнойх). Здесь справедлива теорема о том, что произведение двух отличных от нуля многочленов всегда отлично от нуля. Алгебраический взгляд не исключает подстановку вместо х числа а, принадлежащего тому же полю, над которым мы производим операции; однако вместо х может быть представлен также многочлен от некоторой другой или нескольких других неопределенных величин у, z, ... Такая подстановка есть некоторый формальный процесс, посредством которого кольцо К[х] многочленов от х над полем К точно проецируется на само кольцо К или на кольцо многочленов К[у, z, ...]; «точно» <«getreu»> означает сохранение отношений, установленных операциями сложения и умножения, Это как раз те формально выполняемые операции над многочленами, навыки которых мы должны привить учащимся средней школы в курсе алгебры. Если ввести операцию получения частного и от многочленов перейти к рациональным функциям, подлежащим столь же формальному рассмотрению, то мы получим кольцо, элементами которого оказываются не числа, а именно функции. Аналогичным образом многочлены и рациональные функции от двух переменных х, у или трех переменных х, у, z с коэффициентами из поля К образуют соответственно кольцо или поле.

Сравним-ка следующие три кольца: обычные целые числа, многочлены от одной переменной х и многочлены от двух переменныхх, у с рациональными коэффициентами. Для первых двух колец имеется алгоритм Евклида, и поэтому справедлива теорема: если а и b - два элемента, не имеющие общих делителей, то, выбрав подходящим образом элементы р, q кольца, из них можно построить единицу:

1 = р • а + q • b. (*)

Отсюда следует фундаментальная теорема об однозначном разложении на простые элементы. Дня многочленов от двух переменных теорема (*) уже не верна. Например, хотя многочлены х-у и х+у не имеют общих делителей, из них заведомо нельзя построить единицу, поскольку в любом многочлене вида р(х,у)(х-у) + q(х, у)(х+у) свободный член очевидным образом равен нулю. Тем не менее фундаментальная теорема об однозначном разложении на простые многочлены верна и для многочленов от двух переменных. Так обнаруживаются интересные различия и совпадения.
Однако в алгебре поля из обычных чисел и функций могут быть построены и другим способом. Пусть р - простое число, например число 5. Возьмем обычные целые числа и условимся считать равными числа, сравнимые по модулю р, т.е. такие числа, которые при делении на р дают один и тот же остаток. Наглядно это можно представить себе так: мы как бы наматываем числовую ось на окружность длиной р. В результате возникает своеобразное поле, состоящее всего лишь из р различных элементов.
Такой подход оказывается весьма плодотворным дня всей теории чисел. Возьмем, например, следующую широко применяемую теорему Гаусса: если f(x) и g (х) — два многочлена с целочисленными коэффициентами и все коэффициенты произведения f(x) • g(х) делятся на простое число р, то все коэффициенты либо многочлена f(x), либо многочлена g(x) делятся на р. Это не что иное, как тривиальная теорема о том, что произведение двух многочленов может оказаться нулем только тогда, когда один из сомножителей есть нуль, утверждение, применимое к только что описанному полю, из которого берутся коэффициенты многочленов. В этой области существуют многочлены, отличные от нуля, которые тем не менее обращаются в нуль при всех значениях аргументов, например x^p-x. Ибо по малой теореме Ферма для любого целого числа а справедливо сравнение

a^Р-а= 0 (mod p).

Аналогичный прием образования понятий использовал Коши при введении мнимых величин. Он рассматривает мнимую единицу i как неизвестное и изучает многочлены от этого неизвестного над полем действительных чисел, сравнимые по модулю i² + 1; иными словами, он считает два многочлена равными, если их разность делится на i² + 1. Тем самым не разрешимое на самом деле уравнение i² + 1 = Q становится некоторым образом разрешимым. Но i² + 1 - простой многочлен над полем действительных чисел. Кронекер обобщил конструкцию Коши следующим образом. Пусть К — область рациональности, р(х) — простой многочлен над К. Многочлены f(x) с коэффициентами из К образуют поле (а не просто кольцо), если рассматривать их по модулю р(х). Этот процесс алгебраически полностью эквивалентен описанному выше: к полю К необходимо присоединить корень θ уравнения р(θ) = 0 и тем самым получить в качестве его расширения ноле К (θ). Но он обладает тем преимуществом, что все происходит в рамках чистой алгебры и не требует решения уравнения, которое на самом деле неразрешимо над полем К.

Описанное развитие естественным образом привело к чисто аксиоматическому построению алгебры. Поле - это область, состоящая из элементов, называемых числами; на ней определены две операции + и —, удовлетворяющие обычным аксиомам: законам ассоциативности и коммутативности сложения и умножения; закону дистрибутивности, устанавливающему связь между сложением и умножением; далее — требованию однозначной обратимости сложения, приводящему к вычитанию, и требованию однозначной обратимости умножения, которое приводит к делению. Отбросив последний постулат, мы вместо поля получаем кольцо. Теперь поле оказывается уже не фрагментом некоего универсального числового мира — континуума действительных или комплексных чисел, как это представляли себе раньше: каждое кольцо есть, так сказать, некоторый мир сам по себе. Операции позволяют сочленять друг с другом элементы одного и того же кольца, но не элементы различных колец, При таком подходе нам не приходится искусственно абстрагироваться от несущественных для алгебры отношений <и> между величинами, так как элементы абстрактного числового поля вообще под них не подпадают. Вместо единого числового континуума анализа мы получаем бесконечное многообразие структурно различных полей. Введенные выше процессы, — во-первых, присоединение неопределенных величин и, во-вторых, отождествление элементов, сравнимых по модулю некоторого заданного простого элемента, — выступают теперь в качестве всеобщих способов конструирования, позволяющих из одних колец или полей порождать другие кольца или поля.
Элементарное аксиоматическое обоснование геометрии также приводит к такого рода абстрактному понятию числа. Например, если речь идет о проективной плоскости, то одни лишь аксиомы инцидентности приводят к соответствующему «числовому полю»; его элементы — «числа» — представляют собой сущности, определенные чисто геометрически: проективные координаты точки или преобразования растяжения. Каждая точка и каждая прямая выражается в виде отношения трех «чисел» этого поля x₁ : x₂ : x₃, соответственно u₁ : u₂ : u₃, таких, что отношение инцидентности представляется уравнением

x₁ u₁ + x₂ u₂ + x₃ u₃ = 0.

Наоборот, если применить это алгебраическое выражение для определения геометрических терминов, то каждое абстрактное поле приводит к соответствующей проективной плоскости, удовлетворяющей аксиоме инцидентности. Из аксиом инцидентности нельзя извлечь каких-либо ограничений на числовое поле, соответствующее проективной плоскости. Здесь в грандиозной форме проявляется предустановленная гармония между геометрией и алгеброй. Лишь аксиомы совершенно иного рода — аксиомы порядка и непрерывности — приводят к такой конкретизации, что геометрическая система чисел, соответствующая проективной плоскости, может быть отождествлена с континуумом обычных действительных чисел. Тем самым мы как бы обращаем подход, который в течение столетий господствовал над нашей математической наукой, зародившись, по-видимому в Индии и благодаря арабам проникнув на Запад. А именно, если раньше понятие числа предпосылалось геометрии как логически предшествующее, и мы поэтому, располагая систематически разработанным универсальным понятием числа, не зависящим от применений, могли подходить с ним к величинам самого различного рода, то теперь мы возвращаемся к точке зрения древних греков, согласно которой каждая область вещей влечет свою, на собственной основе определяемую числовую систему. И это происходит не только в геометрии, но и в новой, квантовой физике: физические величины, относящиеся к некоторой данной физической структуре сами по себе (а не те числовые значения, которые они могут принимать при различных ее состояниях), допускают, согласно квантовой физике, сложение и некоммутативное умножение, тем самым образуя некоторый мир алгебраических величин, соответствующий этой структуре, мир, который нельзя рассматривать как фрагмент системы действительных чисел.

А теперь позвольте мне, как я и обещал, привести простой пример взаимодополняющего отношения топологического и абстрактно-алгебраического подходов. Рассмотрим теорию алгебраических функций одной переменной х. Пусть К(х) — поле рациональных функций аргумента х с произвольными комплексными числовыми коэффициентами; пусть f(z), или, точнее, f(z; х),— многочлен n-й степени от переменной z над К(х). Мы уже говорили о том, в каком случае такой многочлен называется неприводимым над полем К(х). Неприводимость — понятие чисто алгебраическое. Но построим для n-значной алгебраической функции z(x), определяемой уравнением f(z,x) = 0, риманову поверхность, образующую n-листное накрытие x-плоскости. Поскольку x-плоскость необходимо пополнить бесконечно удаленной точкой, ее удобнее перевести с помощью стереографической поверхности в x-сферу; поэтому наша риманова поверхность сама станет замкнутой подобно сфере. Но неприводимость многочлена отражается опять-таки в весьма простом топологическом свойстве этой поверхности - в ее связности; если сделать из бумаги модель такой поверхности и хорошенько ее встряхнуть, то она не распадется па отдельные части. Здесь вы видите совпадение чисто алгебраического понятия с топологическим, хотя их обобщения следует искать в совершенно различных направлениях. Алгебраическое понятие неприводимости связано лишь с тем, что коэффициенты многочлена содержатся в поле К; в частности, К(х) можно заменить полем рациональных функций переменной х с числовыми коэффициентами из некоторого заданного числового поля k, причем k заменяет континуум всех комплексных чисел. В то же время для топологии безразлично то, что рассматриваемая поверхность является римановой, наделенной конформной структурой и образующей конечное накрытие x-плоскости. Каждый из двух антагонистов — топология и абстрактная алгебра вправе упрекнуть другого, что тот не отбрасывает второстепенные и вместе с тем пренебрегает существенными чертами. Кто же прав, кто неправ? Вопросы такого рода — вопросы, которые касаются не фактов, а нашего взгляда на факты, если они затрагивают сферу человеческих страстей, - становятся причиной ненависти и кровопролития. В математике последствия их не столь серьезны. Тем не менее противоположность между топологической теорией алгебраических функций Римана и более алгебраической направленностью школы Вейерштрасса привели к расколу среди математиков на протяжении жизни почти целого поколения.

В письме своему верному ученику Г.А. Шварцу сам Вейерштрасс писал: «Чем больше я раздумываю над принципами теории функций, — а делаю я это непрестанно — тем тверже становится мое убеждение в том, что их следует возводить на незыблемой основе алгебраических истин, и поэтому неверен противоположный путь, когда для обоснования более простых и фундаментальных алгебраических теорем используется то, что я для краткости назову «трансцендентными», - каким бы подкупающим ни казался на первый взгляд, например, подход, при помощи которого Риман открыл так много важнейших свойств алгебраических функций». Сейчас мы воспринимаем такой взгляд как односторонний: ни один из двух способов понимания — ни топологический, ни алгебраический не имеет безусловного преимущества перед другим. И мы не можем не бросить Вейерштрассу упрека в том, что он остановился на полпути. Ибо тогда, когда он строит функции в явном виде как алгебраические, он кладет в основу рассмотрения их коэффициентов континуум комплексных чисел, алгебраически не анализируемый и для алгебраиста в известном смысле необъяснимый. В проложенном Вейерштрассом направлении статус главенствующего учения обрела теория абстрактного числового поля и его расширений с помощью алгебраических уравнений. Теория алгебраических функций вместе с теорией алгебраических чисел опирается на общую аксиоматическую основу. В самом деле, Гильберт в своих работах по теории числовых полей руководствовался аналогиями, которые черпал из фактов, относящихся к царству алгебраических функций, - фактов, открытых Риманом с помощью его топологического подхода (разумеется, аналогия не помогает при доказательствах).

Наш пример соответствия «неприводимый – связный» типичен еще в одном отношении. Сколь нагляден, прост и легок для понимания топологический критерий (потряси бумажную модель и посмотри, распадется ли она на части) по сравнению с алгебраическим! Наглядная первичность континуума (по моему убеждению, континуум в этом отношении предшествует даже единице и целым числам) делает топологический подход пригодным как для открытий, так и для общего обзора положений дел в соответствующей области математики. Но тем труднее строгое обоснование. Ибо в той же мере, в какой континуум доступен для наглядного представления, он чужд логике и сопротивляется ей. Именно эта причина побудила Вейерштрасса, М. Нётера и др. отдать предпочтение не трансцендентно-топологическому обоснованию Римана, а трудоемкому, но представляющемуся им более надежным методу прямого алгебраического построения. Но теперь абстрактная алгебра постепенно разделывается с громоздким вычислительным аппаратом. Общность исходных предложений и аксиоматизация побудили покинуть путь вычислений, производимых вслепую, и разложить сложные комплексы фактов на простые части, охватываемые несложными умозаключениями. Алгебра оказалась подлинным Эльдорадо аксиоматики.

Чтобы нарисованная мной картина обрела несколько большую определенность, я хотел бы добавить несколько слов о методе топологии. Если требуется подвергнуть математическому исследованию какой-нибудь континуум, например, двумерное замкнутое многообразие – поверхность, то его надо мысленно разделить на конечное число «элементарных кусков» (Elementarstücke), обладающих топологическими свойствами круга. Эти куски в свою очередь подвергаются разбиению на более мелкие элементарные части, и этот процесс разбиения по жесткой схеме повторяется снова и снова, так что отдельный элемент (Stelle) континуума со все возрастающей точностью «ловится» бесконечной последовательностью возникающих при этих разбиениях кусков, вложенных один в другой. В одномерном случае неограниченно повторяется «нормальное разбитие» элементарного отрезка сводится к разделению его на две части; в двумерном случае на две части делится сначала каждое ребро, а затем каждый кусок поверхности разбивается на треугольники линиями, соединяющими произвольно выбранный внутри куска центр с вершинами (старыми и новыми). Элементарность куска и означает, что, неограниченно повторяя процесс разбиения, этот кусок можно разложить на сколь угодно малые куски. Схему первоначального разбиения на элементарные куски, называемую в дальнейшем просто остовом, удобнее всего описывать, обозначая возникшие при разбиении куски поверхности, ребра и вершины символами и указывая с их помощью, каким образом эти элементы примыкают друг к другу. Посредством дальнейших разбиений многообразие оказывается как бы затянутым все более плотной сетью координат, что позволяет мыслить отдельную его точку обозначенной бесконечной последовательностью символов, наподобие цифровой записи чисел. Обычные действительные числа возникают здесь как частный случай в виде двоичных дробей при описании разбиения открытого одномерного континуума. Но тогда каждый континуум, так сказать, приносит свою собственную арифметическую схему; введение числовых координат на ее основе относится к определенной схеме разбиения открытого одномерного континуума и представляет собой акт насилия, не связанный с существом дела; единственным практическим его оправданием служат особые, чисто вычислительные удобства обращения с числовым континуумом и его четырьмя арифметическими действиями. Разумеется, разбития любого реального (wirklichen) континуума каждый раз можно производить лишь с известной неточностью (Unschärfe); надо представить себе, что границы, установленные при первом разбитии, становятся по мере перехода от одной ступени процесса к следующей все более четкими, виртуально бесконечный процесс разбиения реального континуума всегда неизбежно обрывается на некоторой ступени. Но в отличии от конкретной реализации – локализации в реальном континууме – комбинаторная схема, арифметическая пустая форма, а priori определена до бесконечности, а только с ней и имеет дело математика. Поскольку продолжающееся разбиение первоначального топологического остова производится по раз и навсегда установленной жесткой схеме, все топологические свойства возникающего таким образом многообразия должны быть запечатлены уже на остове; поэтому должно быть принципиально возможным развить топологию как конечную комбинаторику6. неделимыми элементами, или атомами, такой комбинаторики служат в некотором смысле элементарные куски остова, а отнюдь не точки непрерывного многообразия. В частности, для двух остовов необходимо иметь возможность определять, приводят ли они к совпадающим многообразиям или, иначе говоря, допустимо ли рассматривать их как разбиения одного и того же многообразия.

Алгебраической антитезой перехода от уравнения f(z, x) = 0 к римановой поверхности служит переход от того же уравнения к полю, задаваемому алгебраической функцией z(x), ибо на риманову поверхность однозначно распространяется не только функция z(x), но и все алгебраически функции этого поля. Для теорий функций Римана характерна обратная постанова вопроса: по заданной римановой поверхности требуется построить поле алгебраических функций. Эта задача всегда имеет одно, и только одно, решение. Риманова поверхность в том виде, как мы ее до сих пор рассматривали, вложена8 в x-плоскость,так как каждая точка ρ этой поверхности лежит над вполне определенной точкой x-плоскости. Следующий шаг состоит в абстрагировании от отношения вложения ρ - х; риманова поверхность тем самым превращается, так сказать, в свободно парящую поверхность, наделенную конформной структурой и угловой мерой. В обычной теории поверхностей мы также должны привыкнуть к тому, чтобы поверхность сначала рассматривать как некое сплошное образование, состоящее из элементов особого рода — точек поверхности, и отграничивать от него такое вложение в трехмерное пространство, при котором каждой точке ρ поверхности непрерывным образом ставится в соответствие точка Р пространства как то место, где находится ρ. Случай римановой поверхности отличается лишь тем, что риманова поверхность вкладывается в плоское пространство не большего, а того же числа измерений, что и она сама. Абстрагирование от вложения соответствует алгебраической стороне инвариантности относительно произвольных бирациональных преобразований. К топологии же мы придем лишь после отвлечения и от конформной структуры свободно парящей римановой поверхности. Эта конформная структура, если продолжить сравнение, стоит в одном ряду с метрической структурой, которой наделена обычная поверхность и которая в теории поверхности задается первой основной формой, или с аффинной и проективной структурой, которыми наделены поверхности в аффинной и соответственно проективной геометрии «в малом». В континууме действительных чисел структурным моментом являются алгебраические операции + и X, в непрерывной группе эту роль выполняет закон композиции, согласно которому по любым двум элементам группы строится некий элемент той же группы.

Может быть, теперь мы немного лучше понимаем отношение между двумя методами. Какой из них взять в качестве исходного, это просто вопрос о порядке рассмотрения. В топологии начинают с непрерывной связи как самого изначального и лишь постепенно, в ходе спецификации, вводят те или иные структурные моменты; в алгебре же, наоборот, исходным пунктом математического мышления выступают операции, а непрерывность (или некий ее алгебраический суррогат) вводится лишь на заключительном этапе спецификации. Два эти метода противоположны по направлению мысли, и поэтому неудивительно, что они плохо совместимы. То, что легче легкого достигается при одном подходе, требует величайших усилий при другом. Особенно отчетливо я ощутил, как трудно быть слугой этих двух господ, в последние годы, когда занялся теорией представлений непрерывных групп линейными подстановками. Классические теории, такие, как теория алгебраических функций, могут рассматриваться с обеих позиций, но при этом получают совершенно различный вид.

В центре современных интересов находится некоммутативная алгебра, в которой отвергается закон коммутативности умножения. К этому вынуждают совершенно конкретные потребности математики. В самом деле, композиция (Zusammensetzung) операций есть своего рода умножение, но для нее не действует закон коммутативности. 

 Поскольку для сложения и умножения выполняются все формальные законы вычисления, кроме закона коммутативности умножения, операторы симметрии образуют «некоммутативное кольцо» (гиперкомплексную систему). Оказывается, что и в некоммутативной области понятие идеала занимает господствующее положение. Не столь давно теория некоммутативных колец почти полностью поглотила теорию групп и их представлений линейными подстановками.
К сожалению, искусство построения абстрактно-алгебраической теории невозможно продемонстрировать на наглядных примерах. Оно состоит 1) в разработке общих понятий, таких, как поле, идеал и т.д., 2) в разложении доказываемого утверждении «Из А следует В», А - В, на отдельные шаги, А - С, С - D, D - В и т.д., и в правильном обобщении этих частных утверждений с помощью общих понятий. После того как это разделение целого на части и отгораживание от несущественного проделано, доказательство правильности отдельных шагов, как правило, не представляет каких-либо серьезных трудностей.

Там, где удалось применить топологические методы, они и поныне сохраняют решающее значение, Таких успехов, какие принесли топологические методы в руках Римана, абстрактная алгебра до сих пор не показала. Вершины униформизации, покоренные Клейном, Пуанкаре и Кебе топологическими средствами, до сих пор остаются недосягаемыми для алгебраических методов. Решение этих вопросов — дело будущего. Тем не менее я не могу умолчать о том, что ныне среди математиков все шире распространяется ощущение того, что плодотворность методов, основанных на абстрагировании, близка к исчерпанию. В самом деле, все эти прекрасные общие понятия не падают с неба. Все начинается с определенных конкретных проблем во всей их неприступной сложности, которые решаются отдельными исследователями, так сказать, путем Применения грубой силы. Только потом приходят специалисты по аксиоматике и констатируют: вместо того чтобы, напрягая все силы и сбивая руки в кровь, ломиться в дверь, можно изготовить так-то и так-то искусно устроенный ключик, который позволит открыть ее без особого труда и лишнего шума. Но изготовить такой ключик можно лишь потому, что после удачного взлома замок можно изучить вдоль и поперек. Обобщение, формализация и аксиоматизация требуют существования некоторого математического содержания (Substanz). И я думаю, что математическое содержание, формализацией которого мы занимались в последние десятилетия, постепенно близится к исчерпанию. Поэтому я предвижу, что грядущему поколению математиков придется довольно туго.

(Доклад на Летней школе (Ferienkurs), организованной швейцарским Обществом преподавателей гимназий в Берне; 10.1931 г.)