В журнале Communications in Mathematical Physics вышла статья ( .pdf) двух математиков— Эдилсон Моттера и Катрин Гелферт. Исследователи посвятили ее даже не ранней Вселенной, а математическим свойствам хаоса, применив ряд следствий из своих теорем к задачам общей теории относительности.
Математика и физика
Предмет физики— различные объекты от элементарных частиц до Вселенной в целом, а биологии – все живые существа вкупе с «почти живыми» вирусами. Химики изучают процессы превращения веществ, социологи – взаимодействия людей в группах, лингвисты – языки, а вот математики— соотношения между абстрактными объектами.
- Не числа
-
Со школьной скамьи многие сохранили убеждение, будто математика исследует числа. Это не совсем так, хотя теория чисел и существует как отдельная дисциплина внутри математики. И уже в школьной геометрии многие задачи вообще не предполагают каких-либо чисел.
А так как предмет изучения математиков абстрактен, то и плоды трудов ученых достаточно универсальны: в одно и то же уравнение зачастую можно подставить абсолютно разные величины и применить его для описания совершенно разных процессов. Колебания в форме синусоиды, например, совершает как маятник, так и ток в электрической цепи радиоприемника, а по экспоненте может расти как численность населения, так и число нейтронов в ядерной бомбе в момент взрыва.
Экспонента - величина y равна числу e (2,71... далее бесконечная десятичная дробь) в степени x. Подобные графики описывают процессы совершенно разной природы.
Работа математиков, которые устанавливают наиболее общие закономерности для абстрактных объектов, за счет этого дает толчок специалистам, занятым «конкретными» науками— причем эта тенденция возникла уже довольно давно. Труды Исаака Ньютона в области дифференциального счисления позволили описать движение планет и заложить фундамент классической механики, а развитие теории абстрактного многомерного пространства Пуанкаре помогло Эйнштейну создать теорию относительности.
- Специальная и общая
-
Теория относительности делится на специальную и общую. Специальная, которая появилась раньше, описывает, что происходит при движении со скоростью, близкой к скорости света, и объясняет то, почему скорость света всегда постоянна. Общая теория описывает связь гравитационного поля с искривлением пространства времени и объясняет феномен отклонения света вблизи массивных тел (а также то, что черные дыры не могут выпустить наружу даже свет).
Кстати, Нобелевскую премию Эйнштейн получил не за теорию относительности, а за работы по фотоэффекту.
Общая теория относительности, построенная на фундаменте аналитической геометрии, в свою очередь стала основой для космологии – раздела астрономии, описывающего поведение Вселенной как целого. Вкупе с серией экспериментальных данных общая теория относительности дала теорию Большого взрыва, и ученым стало понятно, что Вселенная в самом начале была небольшой, очень плотной и очень горячей.
Все из хаоса
В очень горячей Вселенной не существовало ни атомов, ни даже их ядер. По мере расширения нашего мира из смеси кварков и глюонов формировались привычные нам частицы (сейчас это отчасти удается воспроизвести на ускорителях) и этот процесс протекал в достаточной степени хаотично.
Иллюстрация к книге Владимира Арнольда "Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук. Первые шаги математического анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов". Орбиты небесных тел иногда могут резко изменяться под действием даже ничтожно малых воздействий.
Источник: Википедия
Но что значит «хаотично»? В обыденной практике хаос означает беспорядок, малопредсказуемость и путаницу, а математическое понятие хаоса описывает то же самое с большей строгостью. Так, если по известным координатам и скоростям частиц можно предсказать их поведение в дальнейшем со сколь угодно высокой точностью— система явно более упорядоченна, чем та, поведение которой неизбежно расходится с прогнозом.
Александр Михайлович Ляпунов - выдающийся математик, живший с 1857 по 1918 год. Занимался анализом поведения различных систем, предложенные им критерии устойчивости стали прорывом в теоретической механике. Ученик Пафнутия Чебышева, крупнейшего специалиста XIX века по статистике и механике.
Если сколь угодно малая ошибка в определении начальных условий приводит к резким и непредсказуемым изменениям, то это проявление хаоса. Формально предсказуемость системы (любой, от Вселенной до политической партии или популяции животных) описывается так называемой устойчивостью по Ляпунову и выражается через расхождение близких траекторий— чем оно больше, тем больше мера хаоса.
Так выглядит реликтовое излучение (как на карте мира сфера сведена к эллипсу) - в разные цвета закрашены участки, излучающие кванты с большей (красные) или меньшей (синие) энергией. Неоднородности указывают как на то, что в ранней Вселенной были участки с большей плотностью, так и на то, что уже в наши дни реликтовое излучение взаимодействует с межзвездной средой.
Источник: NASA
Зачем знать меру хаоса ранней Вселенной? От нее зависит дальнейшая эволюция нашего мира и те эффекты, которые мы наблюдаем сегодня. Узнать, почему оставшееся с тех пор электромагнитное излучение немного неравномерно, почему галактики увлекает в одну сторону какая-то неизвестная сила и определить саму форму Вселенной— все это можно сделать только если знать, как обстояли дела сразу после Большого взрыва.
- Реликтовое излучение
-
Электромагнитное излучение, возникшее при рождении Вселенной, до сих можно зарегистрировать— оно повсюду, чувствительные микроволновые детекторы отметят практически равномерный фон, «свечение» со всех сторон.
Хаос инвариантен
Когда требуется оценить степень хаотичности в какой-то системе сравнительно скромных масштабов, проблем немного. Если изучать, к примеру, движение струй воды при обтекании лопаток турбины (расчеты, без которых сложно избежать катастроф вроде аварии на Саяно-Шушенской ГЭС), то картина не поменяется при переходе наблюдателя в другое место— и это предстает как нечто само собой разумеющееся. Клубок ниток не станет более или менее запутанным, если на него смотреть не вблизи, а из другого конца комнаты— говоря на языке математиков, хаос инвариантен относительно системы отсчета.
- Пояснение термина
-
«Инвариантен»— слово, составленное из корня «вариант» и приставки «ин-», обозначающей «без». Схожий пример— «индифферентно», «без» + «различно».
Но лишь в комнате. Если рассматривать расширяющуюся Вселенную, в которой попутно меняется само пространство и время— это будет уже далеко не столь очевидно. Уже сам факт того, что Вселенная расширяется не как облако в пустоту, а расширяется сама окружающая пустота, пространство, плохо укладывается в интуитивную картину мира, так что очевидные в обычной жизни выводы здесь не работают.
Доказательство того, что используемые в других задачах способы измерения хаотичности (в частности, подход Ляпунова) можно применять и для задач общей теории относительности, заняло несколько десятков страниц. Из которых следуют и кое-какие дополнительные выводы.
Роды в конвульсиях
В сообщении Северо-Западного университета (США) приводится краткий комментарий Моттера к его исследованию. Ученый рассказал, что возможность применять меру хаоса к первым секундам Вселенной важна в контексте задачи о том, как происходило ее расширение сразу после Большого взрыва.
Почему для всех наблюдателей - хоть на Земле, хоть в другой галактике - Вселенная словно разбегается во все стороны? Ответ на этот вопрос дает простая иллюстрация, где наблюдатели показаны зеленой и синей точкой, а красным и белым - положение окружающих объектов до и после некоторого интервала времени.
Источник: Azcolvin429
Сейчас, спустя более чем 13 млрд лет, Вселенная расширяется во все стороны равномерно— но так было не всегда. Какое-то время расширение шло только в одной плоскости, а по перпендикулярной этой плоскости оси Вселенная, напротив, сжималась— подобно брошенному на пол мячику. И, более того, направления расширения-сжатия довольно быстро менялись, «мячик» сжимали то с одной, то с другой стороны!
Расширение Вселенной происходит не за счет разлетания галактик в пустоту, точно так же как и увеличение расстояния между порами на поспевающем тесте обусловлено не тем, что поры ползут по поверхности. В случае с хлебом расширяется вся поверхность, в случае со Вселенной - все пространство.
Источник: NASA
Или, что будет даже более точной аналогией— поспевающая буханка хлеба росла не просто равномерно расширяясь, а колыхаясь в разные стороны. Этот процесс был типичным проявлением хаотического движения и для его понимания мера хаоса— едва ли не ключевая характеристика.
