Колебания и волны
Колебательные и волновые процессы весьма часто встречаются в окружающей нас природе и технике. Значительная часть механических движений, движение периодически работающих машин, почти все акустические явления, переменный ток, применяющийся в быту и в разнообразных технических устройствах, радиотехника и часть электроники, вся волновая оптика, волновые свойства частиц - вот далеко не полный перечень явлений и технических приложений, связанных с колебаниями и волнами.
В частности, если какой-то процесс описывается уравнением вида
 = A0 + A sin( kt +  0)
где A0, A, k , 0 - постоянные величины, то говорят, что имеют место гармонические колебания.
К основным характеристикам этих колебаний относятся: A - амплитуда, (kt + 0) - фаза, k - круговая частота, 2  /k = T - период, 1/T =  - частота. Последняя измеряется в герцах. Так называется единица частот колебаний, равная одному колебанию в секунду. Величина A0 называется центром гармонических колебаний. Она показывает среднее значение переменной из множества тех значений, которые последняя принимает в процессе гармонических колебаний.
Рассмотрим простейшие случаи, когда при отсутствии сопротивления и каких бы то ни было возмущений наблюдаются гармонические колебания. Составим дифференциальное уравнение второго порядка, решение которого описывает гармонические колебания. Другими словами, найдем такое дифференциальное уравнение второго порядка, решением которого является функция вида
= A sin(kt + 0),
где A, k, 0 - постоянные величины. Здесь для упрощения принято A0 = 0. Продифференцируем эту функцию дважды по времени. Получим
"=-Ak2sin(kt+ 0)=-k2 ,
откуда
" + k2 = 0 (1) Полученное равенство является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Если поведение объекта описывается дифференциальным уравнением вида (1), то его называют гармоническим осциллятором.
Величина k, равная корню квадратному из коэффициента при функции в рассматриваемом дифференциальном уравнении, называется собственной частотой гармонического осциллятора. Последняя измеряется в рад/с и является круговой частотой. Для вычисления частоты колебаний n по известной круговой частоте k необходимо поделить ее на 2 рад.
Приведем примеры объектов, которые с известным приближением можно считать гармоническими осцилляторами.
Пример 1. Рассмотрим движение математического маятника. Так называется точечный груз, подвешенный к стойке посредством нерастяжимой нити (рис. 1.38).
Воспользуемся основным уравнением динамики для несвободной материальной точки. В данном случае оно имеет вид
a = m-1(G + R),
где G - сила тяжести, R - реакция нити.
Спроецировав обе части этого уравнения на касательную к траектории, получим
a = - g sin  ,
откуда с учетом равенства: a =  l = l - найдем
+ g/l sin = 0,(58)
где l - длина нити маятника, g - ускорение свободно падающей материальной точки.
Полученное уравнение отличается от дифференциального уравнения (1): в последнее координата входит линейным образом, а в уравнение (2) - нелинейно. Дифференциальное уравнение (2), в отличие от уравнения (1) является нелинейным.
Для того, чтобы математический маятник можно было рассматривать как гармонический осциллятор, ограничимся случаем колебаний, при которых угол не превосходит величин, удовлетворяющих с известной степенью точности равенству: sin  . Погрешность этого равенства не превышает 0,1 %, если | | <= 4,4o и 1 % если | | <= 14o.
Колебания, которые удовлетворяют указанному условию, называются малыми. Заменив в уравнении (2) sin на , получим
+ k2 = 0, где k =  . (3)
Это дифференциальное уравнение с точностью до обозначений совпадает с уравнением (1). Следовательно, математический маятник, совершающий малые колебания, является гармоническим осциллятором. Собственная частота этого осциллятора k равно корню квадратному из отношения ускорения g к длине маятника l.
Математический маятник используется на практике, в частности, для измерения ускорения свободно падающей материальной точки в данном месте земного шара. Достаточно пронаблюдать малые колебания математического маятника и замерить период колебаний T. Так как последний связан с частотой колебаний k равенством T = 2 k-1, то искомую величину можно вычислить по формуле
g = 4 2 l/T2. Пример 2. Рассмотрим движение твердого тела, подвешенного на горизонтальной оси и имеющего возможность совершать вокруг этой оси вращательное движение (рис.2). Такое тело называется физическим маятником. На рисунке использованы следующие обозначения: С - центр тяжести тела, G - сила тяжести, - угол поворота тела, отсчитываемый от направления ОС в статическом положении тела.
Если трение в опорах мало, то дифференциальное уравнение движения физического маятника можно записать в форме
= Jz Mz (G),
где Jz - момент инерции тела относительно оси вращения 0z; Mz (G) - момент силы G относительно оси 0z; - угловое ускорение, = '.
Если колебания физического маятника малы по величине, то момент силы G относительно оси 0z можно выразить равенством
Mz (G) = - G |OC| sin - G |OC| = m g |OC| ,
где m - масса тела, g - ускорение свободно падающей материальной точки, |OC| - расстояние между осью подвеса и центром тяжести тела.
С учетом этого равенства дифференциальное уравнение малых колебаний физического маятника запишется в виде
" + k2 = 0, где k =  (4)
Сравнивая полученное дифференциальное уравнение с уравнением (1), заключаем, что физический маятник, совершающий малые колебания, можно считать гармоническим осциллятором. Собственная частота этого осциллятора k зависит от момента инерции тела, его массы и расстояния между осью подвеса и центром тяжести тела.
Теория физического маятника используется на практике для экспериментального определения моментов инерции тел относительно оси. Для этого достаточно пронаблюдать малые колебания тела, подвешенного на горизонтальной оси, и замерить период этих колебаний T. Так как последний связан с частотой k равенством T = 2 k-1, то искомую величину можно вычислить по формуле
Jz = mg |OC| / 4 2 T2. Пример 3. Рассмотрим поступательное движение груза, подвешенного к винтовой пружине. Обозначим массу груза m, жесткость пружины с. Массой пружины будем пренебрегать, а относительно деформации пружины будем полагать, что они незначительны. Вследствие этого будем считать величину силы упругости пружины пропорциональной ее деформации. Предположим, что сопротивление окружающей среды отсутствует, а внутреннее трение пружины пренебрежимо мало.
Для составления дифференциального уравнения движения груза выберем систему отсчета, у которой ось Ox направлена вертикально вниз. Начало отсчета O совместим с положением центра тяжести груза С при его статическом положении (рис.1.40,а). Обозначим удлинение пружины при статическом положении груза через D (рис.1.40,б). Изобразим произвольное положение груза и покажем силы, приложенные к нему (рис.3,в), а именно силу тяжести G и силу упругости пружины F. Последняя выражается формулой: F = -с( +x)i. Составим динамическое уравнение поступательного движения груза. Получим
a = m-1 (G + F), откуда после проецирования обеих частей уравнения на ось Ох найдем x = m-1 (G - с - с x).
Произведение сD выражает силу упругости пружины при статическом положении груза. Она уравновешивается силой тяжести. Следовательно, имеет место равенство: G - с = 0. С учетом его последнее уравнение перепишем в виде
x" + k2 x = 0, где k =  (5)
Сравнивая полученное дифференциальное уравнение с уравнением (1), заключаем, что груз, укрепленный на пружине и совершающий малые колебания вдоль оси пружины, является гармоническим осциллятором. Собственная частота этого осциллятора k равна корню квадратному из отношения жесткости пружины с к массе груза m.
Описанная в этом примере теория используется, например, в приборе для измерения массы космонавтов в невесомости. В процессе такого измерения человек размещается на платформе, установленной в космическом летательном аппарате на винтовой пружине. Его вместе с платформой выводят из положения равновесия и определяют период возникающих при этом свободных колебаний. Вычисляя затем круговую частоту этих колебаний и зная жесткость пружины по формуле (5) находят массу космонавта.
Пример 4. Рассмотрим электрический замкнутый контур, состоящий из последовательно соединенных индуктивности и емкости (рис.4). Согласно второму правилу Кирхгофа* алгебраическая сумма падений напряжения на элементах замкнутого контура равна нулю, и уравнение, описывающее процесс в рассматриваемой цепи, как можно показать, имеет вид:
L di/dt + 1/С i dt = 0, (6) где L - индуктивность, C - емкость, i - ток в цепи.
Так как ток связан с зарядом на обкладках конденсатора равенством i = q', то
i dt = q.
С учетом этого равенства перепишем уравнение (6) в форме
q " + k2 q = 0 , где k =  (7)
Это уравнение с точностью до обозначений совпадает с дифференциальным уравнением (1). Следовательно, замкнутый контур, состоящий из последовательно соединенных индуктивности и емкости, также является гармоническим осциллятором, но только электрическим. При начальных условиях, отличных от нуля, он ведет себя так же, как и любой механический осциллятор, выведенный из положения равновесия. Одним из условий возникновения колебаний в рассматриваемом контуре является начальный заряд на обкладках конденсатора.
Идея совпадения с точностью до обозначений уравнения вида (7) с другими полученными здесь уравнениями используется при исследовании систем самой различной природы путем их моделирования с помощью так называемых аналоговых вычислительных машин.
Из рассмотренных примеров видно, что гармонический осциллятор является весьма простой моделью реально существующих и широко распространенных объектов. Одним из основных свойств, присущих всем гармоническим осцилляторам, является наличие такого воздействия, которое стремится возвратить осциллятор в положение равновесия. В качестве такого воздействия в математическом и физическом маятниках выступает действие Земли, а в системе, состоящей из груза и пружины, - действие пружины.
Cилы, приложенные к осцилляторам при указанных действиях на них, называются восстанавливающими. Учет восстанавливающих сил в дифференциальных уравнениях движения гармонических осцилляторов приводит к появлению в их левых частях слагаемых вида +k2 , где k2 - постоянный коэффициент, - величина (в частном случае, координата), определяющая положение осциллятора.
С точки зрения динамики, колебания, которые происходят только за счет восстанавливающих сил (или восстанавливающих э.д.с.) и возникают только за счет начального отклонения объекта от положения равновесия или за счет начального заряда и т. п., называются свободными колебаниями.
Выше были рассмотрены примеры, в которых сопротивление движению и электрическому току не учитывалось. Понятно, что это чисто гипотетические, идеальные условия. При отсутствии сопротивления свободные колебания являются незатухающими. В реальных же условиях, при наличии сопротивления, они со временем затухают, и поэтому называются затухающими.
Кроме свободных (незатухающих и затухающих) колебаний различают колебания вынужденные и параметрические, а также автоколебания.
Вынужденные колебания возникают за счет действия периодических внешних возмущений, например, возмущающей силы, приложенной к механическому осциллятору, или периодической э.д.с., приложенной к замкнутому электрическому контуру. При этом, если частота возмущений очень близка к собственной частоте осциллятора, то наступает так называемый резонанс: амплитуда вынужденных колебаний становится чрезвычайно большой.
Параметрические колебания осциллятора возникают за счет периодического изменения величины какого-либо из его параметров, например, длины математического маятника, индуктивности или емкости колебательного контура. Параметрические колебания возникают только при определенном соотношении между частотой изменения параметра и собственной частотой осциллятора. Наиболее благоприятным условием для параметрического возбуждения колебаний является равенство частоты изменения параметра удвоенной собственной частоте осциллятора.
Автоколебания возникают и поддерживаются за счет наличия у осциллятора активного элемента, восполняющего неизбежные в реально колеблющемся осцилляторе потери энергии.
Пример осциллятора, совершающего автоколебания, показан на рис. 5. Он представляет собой проволочную спираль, подвешенную к стойке. Другой конец спирали погружен в чашечку со ртутью. Спираль подключена к источнику постоянной э.д.с. Электромагнитные силы, возникающие между витками при протекании тока, вызывают сжатие спирали. При этом ее контакт со ртутью разрывается, ток прекращается, и спираль снова растягивается. Это приводит к восстановлению электрического контакта, и все повторяется - наблюдаются незатухающие колебания.
Частота этих колебаний определяется свойствами спирали. Источник э.д.с., внешний по отношению к осциллятору, работает лишь в течение небольшой доли периода колебаний. Существенно, что в начальный момент осциллятор находится в равновесии, но контакт со ртутью при этом обязательно должен быть.
Некоторое сходство с колебаниями имеют волны. Последние представляют собой возмущения в теле или среде, при которых происходит перенос энергии без переноса вещества. Волны связаны с изменением формы, при котором форма перемещается, но не перемещается среда. Например, движутся волны воды, причем вода взметается и опускается, а волны расходятся кругами, не унося воду далеко за собой. В этом нетрудно убедиться, понаблюдав за движением вверх и вниз плавающего на воде куска пробки или поплавка при наличии волнения поверхности воды. Распространение звука связано с волнами в воздухе. Радиосвязь, радиолокация и радионавигация основаны на использовании электромагнитных волн.
Скорость распространения волны V - это скорость, с которой перемещается ее форма, т. е. скорость перемещения любого участка волны, будь то гребень, или впадина, или область сжатия (в акустической волне).
Вдоль натянутой веревки могут перемещаться с определенной скоростью поперечные волны. При этом если конец веревки совершает гармоническое движение, то наблюдается гармоническая волна (рис. 5).
Расстояние от гребня до гребня волны или от впадины до впадины, т. е. расстояние между любой парой точек, в которых состояние среды находится в одной и той же стадии (фазе) цикла изменений, называется длиной волны. Другими словами, длина волны - это расстояние, через которое ее конфигурация повторяется.
Промежуток времени, за который относительно неподвижного наблюдателя волна перемещается на расстояние, равное ее длине, называется периодом, а величина, обратная периоду, называется частотой волны. Так же, как и у гармонических колебаний, частота волны измеряется в герцах. Обозначая частоту колебаний f, а период Т, имеем f =1/T.
Еще одной характеристикой волны является ее скорость. Она показывает расстояние, которое проходит выбранный гребень за одну секунду (по веревке или в другой среде). Очевидно, скорость волны V связана с ее длиной l формулой
V = f .
Участок среды, возмущенный волной, вызывает возмущение следующего за ним участка и приводит его в движение. В качестве примера на рис. 7 показаны последовательные стадии распространения волны по веревке.В стадии a участок веревки В движется вверх; в стадии б, некоторое время спустя, волна переместилась вперед, и точка В находится еще выше. Таким образом, в стадии а точка В должна двигаться вверх, и как видно из рисунка, продолжает двигаться вверх и в стадии б, но не так быстро. Что же касается участка веревки А, то в стадии а он достиг максимального "смещения" и не движется. Точка С не имеет смещения, но быстро движется вверх. Понятно, что следует различать скорости точек среды при волнении и скорость волны. С этой точки зрения колебания веревки, показыванные на рисунке, называют поперечными. В отличие от них звуковые волны являются продольными: смещение формы звуковых волн происходит в направлении их распространения, а не в поперечном направлении.
Интересное свойство проявляют волны при прохождении через узкую щель в преграде. Например, волны на поверхности воды, проходя через широкий зазор (в котором укладывается много длин волн), продолжают распространяться в прежнем направлении, а по бокам вода остается спокойной. Если зазор узкий, то угол, в котором волна распространяется после прохождения зазора, стремится расшириться. При очень узком зазоре это расширение становится максимальным: волна распространяется по всем направлениям в передней полуплоскости. При этом, подойдя к преграде, волны заставляют колебаться воду в зазоре, порождая круговую рябь и создавая волны во всех направлениях. Этот эффект распространения
Рис. 1.44. Дифракция волн, проходящих через широкий зазорволн при прохождении через щель в преграде, или огибании волнами препятствий, называется дифракцией.
Еще одним свойством волн является интерференция. Она состоит в том, что при наложении в какой-либо области двух цугов волн производимые ими эффекты складываются. Предположим, что имеются два источника S1 и S2, испускающих волны в такт друг с другом. Например, такие источники можно получить, освещая каким-либо источником света две узкие щели или два отверстия, расположенные рядом. При этом происходит дифракция света, и от каждого отверстия расходятся одинаковые волны, идущие в такт друг с другом.
Рис. 1.46. Дифракция волн,проходящих через очень узкий зазор
Предположим, что они достигают распложенного на некотором расстоянии от преграды экрана. До точки Р экрана (рис. 1.47, а) оба цуга волн проходят одинаковые расстояния и достигают ее в одинаковой фазе. При этом производимые ими эффекты совпадают: горб одной волны накладывается на горб другой, впадина на впадину и т. д. В результате в точке Р наблюдается светлая полоса.
Предположим, что до точки Q один цуг волны проходит расстояние, большее, чем другой, на половину длины волны l. В этой точке производимые одним цугом эффекты горб - впадина - горб и т. д. накладываются на эффекты, производимые другим цугом и представляющие соответственно последовательность: впадина - горб - впадина и т. д.
Рис.1.47. Интерференция волн, полученных от одного источника за счет дифракции
Поэтому в точке Q результирующий эффект равен нулю. В этих и других точках во всех случаях волны не уничтожают друг друга, а складываются алгебраически, и производимые ими эффекты или усиливаются (горб+горб=горб), или взаимно уничтожаются (горб+впадина=нуль).
de.ifmo.ru
Рейтинг публикации:
|
