ФРАКТАЛЫ НА МНОЖЕСТВЕ ДВОЙНЫХ ЧИСЕЛ
Панчелюга В.А.
Как известно, термин «фрактал» был введен Б. Мандельбротом в 1975 г. Первоначальное определение фракталов опиралось на классическое представление о хаусдорфовой размерности: Мандельброт назвал фракталами множества, хаусдорфова размерность которых строго больше топологической (и обычно выражается нецелым числом). Но в дальнейшем он придерживался более широкого определения, в котором ключевым моментом является идея подобия части и целого: на различных масштабах существуют части фигуры, подобные фигуре в целом. При этом имеется в виду именно подобие, а не точное соответствие части и целого. Такая формулировка определения фрактала позволяет значительно расширить область его применимости, особенно для физических систем, которые, в отличие от математических построений, практически никогда не дают точного соответствия целого и его частей.
Ставшие уже классическими множества Мандельброта и Жюлиа были получены при изучении квадратичного отображения
z -> z2 + c на множестве комплексных чисел. Данное отображение было впервые изучено в работах французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату по теории итераций рациональных отображений комплексной плоскости в 1918-1919 гг. Впервые с работами Жюлиа и Фату Мандельброт познакомился в 1945 г. по авторским препринтам, которые он получил от своего дяди. Через 35 лет, заинтересовавшись фракталами, инвариантными относительно нелинейных преобразований, Мандельброт вернулся к этим работам и, уже с применением компьютера, построил первое изображение множества, получившего впоследствии его имя.
Но, как известно, у множества комплексных чисел С есть «двойник» - гиперболические (двойные) числа Н2, с той разницей, что вместо евклидовой плоскости их естественной «средой обитания» оказывается псевдоевклидова плоскость или другими словами двумерное пространство-время. В то время, как в качестве расширения С обычно рассматривается некоммутативная алгебра кватернионов Q, для Н2 естественным расширением является коммутативная алгебра Н4. Коммутативность алгебр С, Н2, Н4 и вообще Нn - во многом предопределяет разнообразие множества аналитических функций соответствующих переменных, а те, в свою очередь, жестко связаны с разнообразием группы конформных отображений. При этом, коммутативно-ассоциативные гиперкомплексные числа Нn органично связаны с нетривиальными финслеровыми геометриями с метрикой Бервальда-Моора и видятся, возможно не менее перспективными с точки зрения физических приложений, чем обычные комплексные числа.
В свете сказанного можно надеяться, что на Н2, также как и на С, могут существовать фрактальные аналоги множеств Мандельброта и Жюлиа.
Первые попытки построения фракталов на Н2.
Число работ, посвященных двойным числам, в мировой научной литературе очень невелико. Еще меньше работ, ставящих перед собой задачу построения и исследования фракталов на плоскости двойной переменной. Возможно, наиболее показательной в этом отношении, выглядит серия статей в American Journal of Physics, последовавшая за статьей [1], в которой автор «открывает» двойные числа (в статье используется термин перплексы («perplex»)) и их удобное применение в релятивистской физике. Перплексами он назвал числа вида a + jb, где а, b реальные и j – мнимая единица, квадрат которой равен 1. Данная работа повлекла за собой серию публикаций [2-6] в которых, с одной стороны, тема получила дальнейшее развитие, а с другой - указывалось на незнание авторов [1] истории появления двойных чисел и приводились ссылки на более ранние работы. В этой серии публикаций, возможно впервые, ставилась задача построения фракталов на Н2. При этом, на Н2 один к одному переносились методы, используемые на комплексной плоскости. В результате были получены изображения аналогов множеств Мандельброта и Жюлиа в виде квадрата и прямоугольника, соответственно, рис. 1.
|
|
|
|
а)
|
б)
|
Рис. 1. Примеры аналогов множеств Мандельброта и Жюлиа взятые из работ: а): [4], б): [7]
Рассматривая эти фигуры необходимо отметить полное отсутствие каких-либо признаков фрактальности: мы действительно, имеем множества в виде квадрата и прямоугольника с совершенно гладкими границами и полным отсутствием каких-либо признаков внутренней структуры. Говорить о масштабной инвариантности, о подобии части и целого, применительно к данным фигурам, не приходится. То, что представлено на рис. 1, можно было бы назвать областями сходимости или устойчивости квадратичного отображения на плоскости двойной переменной, но никак не фракталами.
Эти работы очень показательны. В мировом научном сознании бытует представление о фракталах на Н2 именно, как о квадратах и прямоугольниках.
|
|
|
|
а)
|
б)
|
Рис. 2. Аналоги множества Мандельброта для Н2. Скорость ухода точки на бесконечность оценивалась по величине действительной и мнимой части, а), и по величине модуля двойного числа, б).
В самом начале нашей работы по построению фракталов нами также был построен аналог множества Мандельброта для двойных чисел [8]. Результат этого построения представлен на рис. 2. Несмотря на то, что к приведенным фигурам применимы те же упреки в отсутствии фрактальности, что и для «черного квадрата» здесь, тем не менее, видна некоторая нетривиальная структура полученного множества, которая и вдохновила нас на дальнейшие поиски и продолжение работы.
Множество Жюлиа при с = 0.
Двойные числа, часто, по-другому, называют гиперболическими. И, в этой связи, естественно ожидать, что гиперболический характер этих чисел как-то проявится на получаемых изображениях. Но, как видно из приведенного выше материала, это не происходит. Причины станут более понятными, если мы попытаемся построить аналог множества Жюлиа для нулевого значения параметра.
Данный случай, благодаря его простоте, позволяет получить аналитическое выражение для границы множества Жюлиа. При этом вычисления производятся в изотропном базисе. Из полученного выражения для n-го шага итерационной последовательности получаем уравнение границы (см. рис. 3).
Необходимо отметить, что при вычислении множества могут быть использованы два условия: ограниченность действительной и мнимой части двойного числа и ограниченность модуля двойного числа. На рис. 3 приведена форма множества Жюлиа для первого случая. Как легко видеть форма множества – квадрат.
Рис. 3. Результат аналитического вычисления формы множества Жюлиа для нулевого значения параметра. Если в основу построения взять ограниченность действительной и мнимой части двойного числа (x ≠ oo, x ≠ oo), то форма множества Жюлиа – квадрат.
Второй вариант построения – ограниченность модуля двойного числа. Аналитическое выражение для границы и основанное на нем графическое представление, приведены на рис. 4. Здесь необходимо отметить следующее: в отличие от комплексных чисел, где оба рассмотренные условия дают одинаковый результат, для двойной переменной это не так. В зависимости от способа построения мы каждый раз будем получать множества с разной границей.
Рис. 4. Результат аналитического вычисления формы множества Жюлиа для нулевого значения параметра. Если в основу построения взять ограниченность модуля двойного числа (x ≠ oo, x ≠ oo), то множество Жюлиа будет состоять из четырех гипербол.
Несмотря на свою простоту, рассмотрение множества Жюлиа при нулевом значении параметра, приводит к результатам, которые очень важны для отработки адекватных компьютерных алгоритмов, используемых для исследования квадратичного отображения на плоскости двойной переменной. Как можно было видеть, для уже продемонстрированных изображений множества Жюлиа – гиперболические границы для них – редкость. Причина этого заключается в особенностях итерационного процесса для Н2. В отличие от С, для Н2 мы на каждом шаге итерационного процесса вместо разности должны вычислять сумму действительной и мнимой частей, что приводит к чрезвычайно быстрому росту вычисляемых величин. Так, для некоторых значений параметра возможно сделать только несколько итераций в пределах машинного представления числа. В этом случае, многие особенности исследуемых множеств просто не могут быть выявлены. На рис. 5 показан результат компьютерного построения множества Жюлиа при нулевом значении параметра. Скорость убегания точки на бесконечность смотрится по модулю двойного числа. При этом, вместо фигуры, состоящей из четырех гипербол как на рис. 4, мы получаем традиционный квадрат, уже знакомый из результатов, проиллюстрированных рис. 1. Подобное компьютерное построение, очевидно, является ошибочным.
Рис. 5. Результат компьютерного построения множества Жюлиа при нулевом значении параметра на Н2 с использованием алгоритма, обычно применяемого на С. Скорость убегания точки на бесконечность смотрится по модулю двойного числа. Как было показано выше, в данном случае множество Жюлиа должно иметь гиперболические границы, но это не происходит.
В связи с этим, встает задача разработки и тестирования компьютерных алгоритмов, правильно отображающих форму множества Жюлиа при нулевом значении параметра.
Компьютерный алгоритм, правильно отображающий форму множества Жюлиа при нулевом значении параметра.
Нами был предложен следующий алгоритм (см. рис. 6), модернизирующий обычно применяемый алгоритм построения множеств Жюлиа и Мандельброта на комплексной плоскости, и позволяющий построить компьютерную итерационную процедуру, воспроизводящую гиперболическую динамику множества Жюлиа в том виде, как это было получено теоретически. В данном случае, полученная численно форма множества Жюлиа, рис. 6, в точности совпадает с аналитическим решением, показанным на рис. 4.
В заключение этого раздела рассмотрим некоторые из множеств Жюлиа, которые были получены в ходе нашей работы, рис. 7. Данные множества были получены с использованием алгоритмов, традиционных для построения множества Жюлиа на плоскости комплексной переменной. Как следует из вышеприведенного рассмотрения множества Жюлиа при с = 0, подобные алгоритмы могут приводить к неправильным результатам. Поэтому, приведенные множества – всего лишь иллюстрация того, что обычно получается при использовании традиционных методов построения фракталов на плоскости двойной переменной.
Рис. 6. Идея компьютерного алгоритма и основанный на нем результат построения множества Жюлиа для нулевого значения параметра. В данном случае, полученная численно форма множества Жюлиа в точности совпадает с аналитическим решением, показанным на рис. 4.
Рис. 7. Примеры множеств Жюлиа, которые получаются при использовании традиционных методов построения фракталов на плоскости двойной переменной.
Фрактальный аналог множества Жюлиа на Н2
Рассмотренный в предыдущем параграфе пример построения гиперболической границы множества Жюлиа показывает необходимость использования алгоритмов, отличных от алгоритмов «прямой итерации». В случае двойных чисел наиболее привлекательным является алгоритм, который для получения результата требует минимального количества итераций. Идеальным представляется случай, когда мы можем непосредственно вычислять точки границы множества не используя итераций. В определенном смысле этим требованиям удовлетворяет метод обратной итерации [9]. Результат применения этого метода к построению множества Жюлиа показан на рис. 8.
Рис. 8. Множество Жюлиа полученное с использованием метода обратных итераций.
Рис. 9. Фрактальная структура множества Жюлиа, представленного на рис. 8.
Как можно заметить, из внимательного рассмотрения показанного на рис. 8 множества, каждая его часть повторяет структуру множества в целом, т.е., подобное множество можно рассматривать, как фрактал. Более наглядно фрактальность показанного на рис. 8 множества демонстрирует рис. 9. Здесь квадратики показывают часть множества, которая на следующем рисунке (показан стрелкой) показана в увеличенном масштабе. Также необходимо отметить симметрию полученного множества: оно состоит из четырех идентичных копий, которые и воспроизводятся в показанном на рис. 9 процессе увеличения.
Рис. 10. Фрактальное множество Жюлиа.
Главный вывод, который следует из представленных на рис. 8-9 изображений – фрактальная природа полученного множества Жюлиа.
Необходимо отметить, что представленные изображения необходимо рассматривать как неокончательные. Существуют еще целый ряд вопросов и нерешенных проблем, обсуждение которых в настоящем тексте не предполагается.
Этим мы хотели бы закончить рассмотрение множеств Жюлиа и снова вернуться к множеству Мандельброта. В заключение приведем другое изображение множества Жюлиа (при другом значении параметра), обладающие свойством фрактальности, рис. 10.
Аналог множества Мандельброта для двойных чисел.
В связи с тем, что на Н2 существуют делители нуля, множество двойных чисел может быть представлено состоящим из трех подмножеств чисел: пространственноподобных, времениподобных и светоподобных, рис. 11. Следовательно мы можем строить аналог множества Мандельброта для следующих, различающихся случаев: раздельно для пространственноподобных и времениподобных чисел и для случая, когда подобного различия не производится. Последний случай представлен на рис. 1 и рис. 2, а также на рис. 12 а). Как уже обсуждалось, приведенные построения не приводят к фрактальным множествам.
Рис. 11. Разделение плоскости двойной переменной на три типа чисел: пространственноподобные, времениподобные и светоподобные.
|
|
|
|
а)
|
б)
|
Рис. 12. Варианты аналогов Множества Мандельброта не обладающие свойством фрактальности.
Рис. 13. Пространственноподобное множество Мандельброта.
По отношению к времениподобному множеству Мандельброта, рис. 12 б), можно повторить все то же, что и по отношению к множеству, показанному на рис. 12 а): в данном случае мы не наблюдаем никаких признаков фрактальности. Но, внимательное рассмотрение пространственноподобного множества Мандельброта, рис. 13, показывает, что оно имеет нетривиальную структуру. На рис. 14 показан увеличенный фрагмент данного множества, иллюстрирующий данное утверждение.Построим фрагменты данного множества последовательно переходя ко все более мелким масштабам. Схема такого каскада с последовательно уменьшающимся масштабом показана на рис. 15.
Рис. 14. На нижней части рисунка показан фрагмент верхнего рисунка, выделенный кружком.
Рис. 15. Структура пространственноподобного множества Мандельброта. Нижние рисунки соответствуют части верхних рисунков, выделенных прямоугольником.
Характерной особенностью показанных на рис. 14-15 изображений является то, что на каждом их них присутствует уменьшенная, почти точная копия исходного множества, т.е. строение данного множества соответствует принципу подобия между частью и целым и в силу этого может рассматриваться как фрактал. Следовательно, мы можем утверждать о существовании фрактального множества Мандельброта на Н2. На рис. 16 показаны фрагменты множества Мандельброта, показанные на рис. 15 в увеличенном масштабе. Размеры прямоугольника на каждом рисунке характеризуются действительной p и мнимой q частью двойного числа.
Рис. 16. Фрагменты множества Мандельброта, показанные на рис. 15, в увеличенном масштабе. Стрелки и номера рисунков показывают последовательность переходов между ними.
Заключение.
Главным результатом представленного исследования мы считаем демонстрацию фрактальности аналогов множеств Мандельброта и Жюлиа, получаемых в результате итераций квадратичного отображения на множестве двойных чисел, Н2. Полученные результаты противоречат часто высказываемому мнению, что на множестве двойных чисел невозможно получение чего-нибудь более интересного чем квадрат или прямоугольники.
С другой стороны, как уже отмечалось, представленные изображения фрактальных множеств в настоящее время пока нельзя считать окончательными в силу целого ряда проблем, как технического, так и принципиального характера.
Литература.
- 1. Fjelstad P. Extending special relativity via the perplex numbers. // American Journal of Physics, 1986, 54, 416–422.
- 2. Ronveaux A., About perplex numbers. // American Journal of Physics 1987, 55, 392.
- 3. Band W. Comments on Extending special relativity via the perplex numbers. // American Journal of Physics 1988, 56, 469.
- 4. Senn P. The Mandelbrot set for binary numbers. // The American Journal of Physics, 1989, 58, 1018.
- 5. Metzler W. The “mystery” of the quadratic Mandelbrot set. // The American Journal of Physics, 1994, 62, 813–814.
- 6. Metzler W., Brelle A., Schmidt K.D. Nonanalytic dynamics for generating the mandelbrot set: A tutorial. // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1992, 2, 241–250.
- 7. Artzy R. Dynamics of quadratic functions in cycle planes. // Journal of Geometry, 1992, 44, 26–32.
- 8. Павлов Д.Г., Просандеева М.С., Панчелюга В.А. О построении аналога множества Мандельброта на плоскости двойных чисел. // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике. №1, (7), том 4, 2007, с. 93-97.
- 9. Р. Кроновер Фракталы и хаос в динамических системах. М., Техносфера, 2006 – 488 с.
Источник: hyper-complex.ru.
Рейтинг публикации:
|
