Отвечает Есения Павлоцки, лингвист-морфолог, эксперт института филологии, массовой информации и психологии Новосибирского государственного педагогического университета.

Часто эти слова оказываются взаимозаменяемыми в речи носителей языка, но это неправильно, потому что каждое из них обладает самостоятельным значением. 

Слово апеллировать (от лат. appello «обращаться») в русском языке имеет следующие значения:

1. Апеллировать к кому-то, чему-то. Жаловаться, искать чьего-нибудь решающего мнения, взывать к кому-чему-нибудь (книжн.). Апеллировать к здравому смыслу, к руководству.

2. Подать апелляционную жалобу. Апеллировать в областной суд — опротестовывать. 

Эти значения в основном фиксируют словари. На деле в речи носителей языка чаще всего проявляется значение самого латинского appello — обращаться. Он апеллировал к фактам, к случаю — то есть обратился, сослался на какие-то факты или случай.

У слова оперировать тоже есть несколько значений. Конечно, мы не принимаем по внимание значение ’проводить хирургическую операцию’ — его ни с чем не путают, поэтому нас оно не интересует. 

В остальном слово оперировать связано с инструментарием: кто-либо с чем-либо обращается (как-либо). Он умело оперирует данными, я не оперирую этими терминами. 

Я оперирую данными, но апеллирую к данным — я 1. оперирую, владею данными и активно использую их как инструмент, но 2. апеллирую к данным: ссылаюсь на них, обращаюсь к ним. 

Слово оперировать в речи оказывается более востребованным (если это не юридическая сфера), потому что его форма и другие значения более понятны. Слово апеллировать сложнее для восприятия, поэтому проявляется процесс смешения и замещения значений. Часто можно услышать «я оперирую к этой ситуации».