В математике наступает эра непонимания

Математика становится невообразимо сложной: за полгода никто не смог понять 500-страничное доказательство ABC-теории

Никто из математиков пока не смог вникнуть в 500-страничное доказательство ABC-теории Синъити Мотидзуки

Фотография: iStockPhoto

Григорий Колпаков

Мировая математика теряет свое изящество и становится невообразимо усложненной. Это наглядно демонстрирует ситуация с одной из величайших гипотез в теории чисел, известной под названием «гипотеза АВС» и вроде бы доказанной в прошлом году японским математиком Синъити Мотидзуки из Университета Киото.

В сентябре прошлого года «Газета.Ru» уже рассказывала об этом доказательстве. Если гипотеза АВС превратится в доказанную теорему, это станет главным математическим событием века. Мотидзуки вывесил в интернете (подобно тому, как это сделал Григорий Перельман, решивший Проблему Пуанкаре) четыре свои статьи общим объемом более 500 страниц, где это доказательство полностью приводится. Само доказательство находится в четвертой статье, а первые три носят лишь вводный характер и посвящены теории, специально созданной японцем для доказательства гипотезы АВС: он назвал ее арифметической теорией пространств Тейхмюллера.

Сама гипотеза возникла недавно: в восьмидесятых годах прошлого века ее одновременно и независимо друг от друга сформулировали британец Дэвид Массер и француз Жозеф Остерле.

Речь в ней идет о тройке взаимно простых чисел (целые числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме единицы), последнее из которых представляет собой сумму первых двух, и о связи между ними и их радикалом – этим термином обозначен вовсе не квадратный корень, а произведение всех сомножителей, взятых по одному разу.

Так, радикал числа 6 равен 6 — произведению двойки и тройки. Таким же будет радикал и множества других чисел – 12, 24, 384 и т. д.

Довольно абстрактная и, на первый взгляд, вообще никому не нужная, эта гипотеза, став доказанной теоремой, открывает перед исследователями числового ряда целое море возможностей. В частности, позволяет доказать Великую теорему Ферма буквально в три строчки.

Великая теорема Ферма утверждает, что невозможно равенство a^x + b^x = c^x при x > 2. В 1637 году Пьер Ферма написал на полях «Арифметики» Диофанта: «…невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашел этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него».

Три с половиной века люди бились над поиском этого чудесного доказательства и часто сходили с ума (этим сумасшедшим даже придумали название – «ферматисты»), пока в 1995 году она не была окончательно доказана британским математиком сэром Эндрю Уайлсом.

Доказательство было слишком сложным и явно не тем чудесным, о котором говорил Пьер Ферма.

Для гипотезы АВС чудесного доказательства нет и, возможно, никогда не найдется. Есть доказательство Мотидзуки, которое сам автор посчитал настолько сложным, что предпочел не отдавать его в реферируемый журнал, а просто вывесить в сети — видимо, предположил, что эксперты настолько долго будут разбираться с его выкладками, что до публикации можно и не дожить.

В этом он оказался прав: зная о высоком научном рейтинге Мотидзуки и справедливо считая, что глупых ошибок в его доказательстве быть не может (хотя одна мелкая ошибка была найдена в октябре, правда на общий результат она не влияет), множество математиков буквально вцепились в его четыре статьи, но никто из них так и не заявил открыто, что он понял и принял суть этого доказательства.

Причин такому непониманию называют две. Первая — математики не очень любят читать статьи своих коллег, тем более такие большие. Причина вторая — японское доказательство оказалось чересчур сложным. Там не только водится новая геометрия Тейхмюллера, там надо пробиться через новый словарь, созданный доктором Мотидзуки – разобраться в никогда ранее не существовавших «анабелиоидах», «фробеноидах», «театрах NF-Ходжа» и т. д.

В отчаянии математики обратились к автору доказательства с просьбой объяснить главную суть его идей. Тот ответил лишь на главные вопросы, вывесив «панорамный обзор» своего доказательства. Однако даже этот обзор оказался для его коллег почти таким же неперевариваемым, как и полное доказательство гипотезы АВС.

Иначе говоря, в двадцать первом веке математика вступила в эру, когда заявление «quod erat demonstrandum» (латинское выражение, обозначающее завершение доказательства теоремы, дословный перевод — «что и требовалось доказать») уже не является окончательной точкой в математической теореме. Необходим еще один шаг — согласие математического сообщества с тем, что теорема на самом деле доказана.

И в случае с Мотидзуки этот шаг до сих пор не сделан.

Перед человеком, решающим математическую задачу, могут стоять две цели — решить ее красиво и просто или решить любым способом — главное, чтоб решить. В первом смысле ни Великая теорема Ферма, ни тем более гипотеза АВС, которую даже сформулировать на простом языке сложно, до сих пор красивого решения не нашли. Не найдено «чудесного доказательства» Пьера Ферма, которое тот не смог уместить на полях книги, вряд ли будет найдено и вряд ли вообще существует «чудесное» и всем понятное доказательство гипотезы АВС. И похоже, вряд ли кто-нибудь в будущем озаботится поисками таких доказательств.