Во многом случайное доказательство

Днем 20 марта 2013 года стало известно, что Абелевскую премию — престижнейшую награду в мире математики — в 2013 году получил Пьер Делинь с формулировкой «за вклад в алгебраическую геометрию, который оказал существенное воздействие на теорию чисел, теорию представлений и смежные области». Заранее имена лауреатов премии не разглашаются, но сомнений в том, что Делинь (к слову, обладатель множества престижнейших наград, в том числе и Филдсовской медали) рано или поздно получит Абелевскую премию, не было. Делинь стал 13-м лауреатом награды, денежная составляющая которой равна 800 тысячам евро.

Церемония объявления лауреатов транслировалась в интернете. Сразу после того, как имя победителя было объявлено, слово предоставили профессору Тимоти Гауэрсу, который по традиции должен был прочитать небольшую лекцию, посвященную достижениям лауреата. Он начал свое выступление так: «Это уже третий раз, когда мне предоставлена честь выступить с популярной лекцией о лауреате Абелевской премии, лекцией, предназначенной для самой широкой аудитории. В этом году передо мной стоит наиболее сложная задача. Два года назад, когда я рассказывал о Джоне Милноре, я пользовался картинками, ведь Милнор — автор работ по геометрии. В прошлом году, когда премия досталась Андре Семереди, я без труда излагал доказанные им утверждения — ведь они (эти утверждения) формулировались в достаточно простых терминах (притом что их доказательства, конечно, были крайне сложны). Несмотря на то что в работах Делиня есть геометрическая составляющая, ее так просто не проиллюстрируешь. С другой стороны, и сами его утверждения формулируются в очень непростых терминах».

Трудно было бы сказать лучше: алгебраическая геометрия даже среди математиков считается крайне сложной наукой с совершенно обособленной лексикой. Тем не менее, ниже речь пойдет именно о ней. Причем это потому, что популярно изложить другие результаты Делиня, отмеченные Норвежской академией наук (а именно создание теории стеков Делиня-Мамфорда и работы по монодромии), — задача еще более неподъемная. Кроме того, главное достижение лауреата 2013 года — доказательство гипотез Вейля — тесно связано с другими областями математики, о которых в некотором смысле говорить проще. Правда, сразу же предупредим читателя, что цель этого текста — лишь в общих чертах объяснить условие задачи, то есть результаты, которых добился Делинь. Даже намеки на примерную схему его решения из-за неподъемности мы оставляем за кадром.

Гипотеза Рамануджана и тау-функция

Начнем мы со школьной задачи по комбинаторике, которая, казалось бы, никак не связана с геометрией. У людоеда, который неожиданно решил стать вегетарианцем, в подвале томятся 27 пленников. Людоед решает отпустить пленников, но планирует делать это так: каждый день отпускать троих. Сколько есть способов выбрать первую тройку счастливчиков? Ответ хорошо известен — это так называемое число сочетаний из 27 по 3. В общем виде формула для количества способов выбрать k элементов из n-элементного множества имеет вид n!/(k! (n - k)!), где n! означает «факториал числа n», то есть произведение всех целых чисел от 1 до n. В предыдущей задаче в этой формуле k = 3, а n = 27 (ответ, если интересно, будет равен 2925).

Если зафиксировать n, то полученную формулу можно рассматривать как формулу, задающую функцию f от k. Для k > n эту функцию можно доопределить нулем: действительно, в условии первоначальной задачи взять 28 из 27 узников не получится. Значения нашей функции обладают следующим занятным свойством: в выражении (1 + q)ⁿ — это бином Ньютона — соответствующее f(k) будет просто коэффициентом при k-ой степени переменной q. В некотором смысле бином несет всю нужную нам информацию о f(k). Такой объект называется производящей функцией последовательности и с середины XVIII века используется в математике сплошь и рядом — от теории чисел до теории вероятностей.

Тау-функцию, о которой идет речь в заголовке этого раздела, тоже удобно задавать производящей функцией. Она выглядит, конечно, несколько сложнее:

Знак П означает произведение, а значок «бесконечно» сверху указывает, что рассматривается произведение бесконечного числа множителей. Каждый множитель — бином Ньютона для n = 24, причем это число выбрано не случайно и связано с очень симметричной решеткой в 24-мерном пространстве, известной как решетка Лича. В бесконечном количестве множителей в формуле нет ничего страшного. Легко понять, что если начать вычислять произведение, то при каждой степени переменной q будет стоять конечное число. Это связано с тем фактом, что показатель при этой степени линейно растет, а значит, в формировании коэффициента, скажем, при q⁵³ будет участвовать не более чем конечное число коэффициентов, в частности, они содержатся среди коэффициентов первых 53-х скобок. Таким образом, запись можно считать удобной формальностью. Первые несколько значений тау-функции таковы: τ(1) = 1, τ(2) = −24, τ(3) = 252.

Тау-функция активно используется в теории чисел. Дело в том, что ответы на многие вопросы в этой науке дать в точных терминах невозможно, поэтому математики ограничиваются разного рода оценками. Так вот, во многих оценках естественным образом возникает тау-функция. Впервые она появилась в работе Шриниваса Рамануджана в 1916 году. Тогда же Рамануджан обнаружил у нее ряд свойств, три из которых не смог доказать. Два из трех были доказаны всего спустя год, а вот третье, получившее название гипотезы Рамануджана, продержалось до 70-х годов прошлого века. Эта гипотеза утверждала, что модуль τ(p) для любого простого p не превосходит 2p^5,5. В 1971 году Делинь показал, что истинность гипотезы Рамануджана (на самом деле — чуть более общего утверждения, известного как гипотеза Рамануджана-Петерссона) следует из гипотез Вейля.

Гипотезы Вейля

Прежде чем говорить о гипотезах Вейля, необходимо объяснить, что такое конечные поля. Полем в математике называется множество с набором операций (обычно их обозначают сложением и умножением), обладающих определенным свойством. Простейший пример поля — это множество действительных чисел. Во-первых, элементы этого множества можно складывать, причем сложение ассоциативно (то есть p + (q + r) = (p + q) + r); коммутативно (от перемены мест слагаемых сумма не меняется); есть нейтральный элемент, называемый нулем (нейтральный, то есть его сумма с любым числом дает это же число), и для каждого элемента q определен обратный -q, сумма с которым дает нейтральный элемент. Во-вторых, элементы этого множества можно умножать, причем умножение также ассоциативно, коммутативно, обладает нейтральным элементом (единица) и для каждого ненулевого q определен обратный элемент 1/q, произведение с которым дает нейтральный элемент, то есть единицу. Сложение и умножение связаны так называемым дистрибутивным законом p (q + r) = pq + pr.

Оказывается, что таким набором свойств обладают многие другие множества, простейшим из которых является множество остатков при делении на какое-нибудь простое число, скажем, на 5. Обозначим эти остатки 0, 1, 2, 3, 4. Их удобно представлять себе записанными по кругу. Если нужно сложить два числа, скажем, 4 и 3, то нужно по этому кругу просто отсчитать от четырех три шага. Легко проверить, что в таком случае 4 + 3 = 2. Оказывается, такое сложение ассоциативно и коммутативно. Нейтральным элементом в таком множестве будет 0, и для каждого элемента имеется обратный (например, для 4 это 1, а для 3 это 2). Сложнее показать, что для умножения тоже выполняются все заявленные свойства.

Полученное таким образом поле называют полем вычетов по модулю 5 и обозначают F₅. Нужно отметить, что для каждого простого числа p и натурального k существует ровно одно поле, в котором p^k элементов.

Такого рода объекты находят применение, например, в криптографии, квантовой механике, функциональном анализе и теории Галуа. Вообще над такими полями можно строить полноценную геометрию, записывая уравнения «кривых», «поверхностей», и — решая эти уравнения — находить точки, которые принадлежат той или иной поверхности. В этом и заключается причина невероятной мощи алгебраической геометрии — она дает возможность выработать единый подход к проблемам из, казалось бы, совершенно разных областей математики, часто позволяя использовать скрытую геометрию задачи, которую никаким другим образом обнаружить невозможно.

Самая естественная характеристика поверхности над полем — это количество ее решений (так как поля конечны, то таких решений также не более чем конечное число), то есть количество точек в поверхности. Для каждого k при фиксированном p можно определить, как уже говорилось выше, поле из p^k элементов. Количество точек в поверхности, задаваемой системой уравнений (многочленов с целыми коэффициентами), обозначим через a_k. Будем увеличивать k, оставляя систему уравнений неизменной. Для получившейся последовательности можно определить так называемую зета-функцию (в подробности о том, почему она задается именно такой формулой, мы вдаваться не будем).

Три гипотезы Вейля — всего их было четыре штуки — касались именно Z(x). Еще одна гипотеза утверждала, что получившаяся геометрия по-настоящему геометрична — она говорила, что для таких систем есть очень естественное понятие когомологий. Это основной инструмент, которым пользуются топологи при изучении структур тех или иных поверхностей (многообразий). Точные формулировки гипотез можно посмотреть здесь.

Вместо заключения

Именно их и доказал в 1974 году Пьер Делинь. Это доказательство стало результатом синтеза множества разрозненных результатов (в том числе и его непосредственного учителя Александра Гротендика) из самых разных областей. В телефонном интервью сразу после вручения награды Делинь признался, что его доказательство во многом случайно — так получилось, что математическое любопытство заводило его в такие области, где, по идее, ему быть не следовало.

Есть вероятность, что читатель мог не справиться с изложенной здесь математикой. Однако ему не стоит себя корить: как говорилось выше, алгебраическая геометрия — темный лес и для многих серьезных математиков. Как бы то ни было, важно понимать, что Пьеру Делиню дали премию заслуженно, за большое дело. Вы пока поверьте, а поймете потом.