Закон Бенфорда для регистрации слабых землетрясений
7-11-2010, 20:52. Разместил: pl
Интернациональная группа учёных показала, что закон Бенфорда выполняется для многих наборов данных из разных областей науки, и его можно использовать для регистрации слабых землетрясений. Закономерность, отмеченная астрономом Саймоном Ньюкомбом и названная в честь физика Фрэнка Бенфорда, сформулировавшего её в 1938 году, некоторым до сих пор кажется противоестественной.
Американский астроном С. Ньюкомб в 1881 году обратил внимание на то, что страницы библиотечных книг, содержащих логарифмические таблицы, истрепаны и сношены там, где содержатся логарифмы чисел, начинающихся на 1. А страницы с логарифмами чисел, начинающихся на 9 - совсем как новенькие. Отсюда получается, что в разных вычислениях и измерениях люди чаще всего встречают числа, которые начинаются на 1. Числа, начинающиеся на 2, 3, 4 и так далее, встречаются все реже. Совсем редко встречаются числа, которые начинаются на 9.
В 1938 году это явление переоткрыл другой американец - физик Ф. Бенфорд. Он собрал большую статистику и вывел формулу для распределения вероятности первой цифры разных измерений и вычислений: 
Объяснение закона есть у Арнольда: первая цифра экспоненциально растущей величины в среднем по времени распределена согласно закону
Из эргодической теории среднее по времени совпадает со средним по семейству. Многие величины растут со временем экспоненциально. Поэтому и наблюдается закон Бенфорда.
По словам руководителя исследования Малкольма Сэмбриджа (Malcolm Sambridge) из Австралийского национального университета, один участник геофизической конференции, на которой авторы представляли свой доклад, не поверил им и посчитал их выступление шуткой.
Подавляющее большинство учёных, впрочем, хорошо знакомо с законом Бенфорда, описывающим вероятность появления той или иной первой значащей цифры в наборах величин, взятых из реальной жизни, и не сомневается в его правильности. В десятичной системе счисления, к примеру, вероятность появления цифры D будет равна lg(1 + 1/D); единица, следовательно, должна обнаруживаться чаще всего (с вероятностью около 0,3), а девятка — менее чем в пяти процентах случаев. Стоит заметить, что вид распределения Бенфорда не зависит от единицы измерения: если для какого-то набора величин, выраженных в метрах, закон выполняется, то он будет выполняться и после перевода в футы.
Подавляющее большинство учёных, впрочем, хорошо знакомо с законом Бенфорда, описывающим вероятность появления той или иной первой значащей цифры в наборах величин, взятых из реальной жизни, и не сомневается в его правильности. В десятичной системе счисления, к примеру, вероятность появления цифры D будет равна lg(1 + 1/D); единица, следовательно, должна обнаруживаться чаще всего (с вероятностью около 0,3), а девятка — менее чем в пяти процентах случаев. Стоит заметить, что вид распределения Бенфорда не зависит от единицы измерения: если для какого-то набора величин, выраженных в метрах, закон выполняется, то он будет выполняться и после перевода в футы.
Распределение Бенфорда.
Сам Бенфорд представил убедительные доказательства истинности закона, проанализировав данные по площади бассейна рек, населению городов, молекулярной массе химических соединений, удельной теплоёмкости материалов. Известно, что распределение вполне можно использовать на практике — скажем, при анализе финансовых документов для выявления подлогов.
Авторы рассмотрели 15 наборов данных, которые содержали в общей сложности более 750 тысяч значений. Были исследованы и сейсмические данные, и параметры источников гамма-излучения, регистрируемых космической обсерваторией «Ферми», и скорость вращения пульсаров, и статистическая информация по инфекционным заболеваниям, собранная Всемирной организацией здравоохранения; во всех этих случаях закон Бенфорда, как оказалось, не нарушается.
Учёные также нашли оригинальную возможность применения закона в геофизике. Рассматривая вертикальное смещение поверхности земли в Перу, они обнаружили, что набор незначительных «фоновых» сдвигов не удовлетворяет закону Бенфорда, а смещения, вызванные мощным землетрясением в декабре 2004 года, ему, напротив, соответствуют. Затем исследователи взялись за сейсмологические данные со станции в Канберре; здесь ситуация была аналогичной, но степень соответствия закону изменялась во времени несколько иначе. Тщательный анализ сейсмограммы показал, что сигнал от мощного толчка «замаскировал» след слабого локального землетрясения.
«Другие примеры обнаружения реального физического явления с помощью закона Бенфорда мне неизвестны», — замечает не принимавший участия в работе математик Теодор Хилл (Theodore Hill) из Технологического института Джорджии. По мнению г-на Хилла, в будущем проверка на соответствие закону может стать важным этапом отбора моделей физических процессов.
Однако при использовании закона Бенфорда не надо забывать о границах его применимости. Он, что вполне естественно, выполняется только для достаточно объёмных наборов величин; кроме того, минимальные и максимальные значения в наборе должны отличаться друг от друга на несколько порядков. К сожалению, универсального критерия применимости закона не существует, то есть до проведения эксперимента какого-то нового типа учёные не могут утверждать, что массив опытных данных будет соответствовать распределению Бенфорда.
Сам Бенфорд представил убедительные доказательства истинности закона, проанализировав данные по площади бассейна рек, населению городов, молекулярной массе химических соединений, удельной теплоёмкости материалов. Известно, что распределение вполне можно использовать на практике — скажем, при анализе финансовых документов для выявления подлогов.
Авторы рассмотрели 15 наборов данных, которые содержали в общей сложности более 750 тысяч значений. Были исследованы и сейсмические данные, и параметры источников гамма-излучения, регистрируемых космической обсерваторией «Ферми», и скорость вращения пульсаров, и статистическая информация по инфекционным заболеваниям, собранная Всемирной организацией здравоохранения; во всех этих случаях закон Бенфорда, как оказалось, не нарушается.
Учёные также нашли оригинальную возможность применения закона в геофизике. Рассматривая вертикальное смещение поверхности земли в Перу, они обнаружили, что набор незначительных «фоновых» сдвигов не удовлетворяет закону Бенфорда, а смещения, вызванные мощным землетрясением в декабре 2004 года, ему, напротив, соответствуют. Затем исследователи взялись за сейсмологические данные со станции в Канберре; здесь ситуация была аналогичной, но степень соответствия закону изменялась во времени несколько иначе. Тщательный анализ сейсмограммы показал, что сигнал от мощного толчка «замаскировал» след слабого локального землетрясения.
«Другие примеры обнаружения реального физического явления с помощью закона Бенфорда мне неизвестны», — замечает не принимавший участия в работе математик Теодор Хилл (Theodore Hill) из Технологического института Джорджии. По мнению г-на Хилла, в будущем проверка на соответствие закону может стать важным этапом отбора моделей физических процессов.
Однако при использовании закона Бенфорда не надо забывать о границах его применимости. Он, что вполне естественно, выполняется только для достаточно объёмных наборов величин; кроме того, минимальные и максимальные значения в наборе должны отличаться друг от друга на несколько порядков. К сожалению, универсального критерия применимости закона не существует, то есть до проведения эксперимента какого-то нового типа учёные не могут утверждать, что массив опытных данных будет соответствовать распределению Бенфорда.
Вернуться назад