Огонь в уравнениях

Что вдыхает огонь в уравнения и создает вселенную,

чтобы они описывали ее?
Стивен Хокинг

Альфонс Мудрый, правивший Кастилией в XIII веке, глубоко уважал астрономию. На то имелись совершенно прагматические причины: знание точного положения планет на небе было жизненно необходимо для составления точных гороскопов. Для повышения их качества Альфонс заказал новые астрономические таблицы, основанные на теории Птолемея — последнем слове тогдашней космологии. Но когда ему объяснили тонкости птолемеевой системы, он отреагировал весьма скептически: "Если бы Всемогущий Бог посоветовался со мной перед творением, я бы порекомендовал что-нибудь попроще".

Совет Альфонса

Король Альфонс мог бы сказать то же самое и о той картине мира, которая говорит о существовании бесконечного ансамбля вселенных, каждая из которых пестрит областями с разной физикой элементарных частиц. Области, где могут жить разумные существа, редки и разделены громадными расстояниями. Еще реже встречаются области, совершенно идентичные между собой, но даже их существует бесконечное множество. Какое расточительство пространства, материи и вселенных!
Однако нам не стоит слишком беспокоиться о количестве вселенных. Новая картина мира экономит куда более ценный товар: она значительно снижает число произвольных предположений, которые делаются о Вселенной. Лучшая теория — та, которая объясняет мир, опираясь на минимальные и простейшие предположения.
Ранние космологические модели исходили из того, что Творец тщательно сконструировал и тонко настроил Вселенную. Каждая деталь в физике элементарных частиц, каждая фундаментальная постоянная и все первичные возмущения нужно было выставить строго определенным образом. Представьте только бесчисленные тома спецификаций, которые Творец вручал своим ассистентам для выполнения работы! Новая картина мира предлагает совершенно иной образ Творца. После некоторого раздумья он пришел к набору уравнений фундаментальной теории всей природы. Этим запускается процесс неудержимого творения. Никаких дальнейших инструкций не требуется: теория описывает квантовое зарождение вселенных из ничего, процесс вечной инфляции и создание областей со всеми возможными типами физики элементарных частиц — до бесконечности. Каждый конкретный элемент ансамбля вселенных невероятно сложен, и для его описания понадобилось бы огромное количество информации. Но весь ансамбль в целом можно закодировать относительно простым набором уравнений. (Подобная ситуация, когда бесконечный ансамбль оказывается много проще отдельного члена, очень часто встречается в математике. Рассмотрим, например, множество всех целых чисел: 1, 2, 3,... Его можно сгенерировать простой компьютерной программой, занимающей всего несколько строк. С другой стороны, число битов, необходимых для записи конкретного большого целого числа, равно количеству цифр в его двоичной записи и может оказаться гораздо больше.)

Бог как математик.

Как узнать, что наш портрет Творца близок к истине? Пытался ли он оптимизировать использование "ресурсов", таких как пространство и материя, или больше заботился о сжатости математического описания природы? К сожалению, он не дает интервью, но продукт его работы — Вселенная — не оставляет сомнений на этот счет.
Поверхностного взгляда на Вселенную достаточно, чтобы убедиться, с какой великой расточительностью растрачивались материя и пространство. Бесчисленные галактики разбросаны в пустом космосе на колоссальных расстояниях друг от друга. Галактики делятся на несколько типов, среди которых спиральные и эллиптические, карликовые и гигантские. Но за исключением этого все они очень похожи друг на друга. Творец ясно дает понять, что не стесняется бесконечно повторять свои работы.

Пифагор в VI веке до нашей эры, вероятно, впервые предположил, что математические соотношения лежат в основе всех физических явлений. Его догадка была подтверждена веками научных исследований, и теперь мы считаем само собой разумеющимся, что природа подчиняется математическим законам. Но если остановиться и задуматься, то тот факт выглядит крайне странным.
Математика кажется продуктом чистого мышления, очень слабо связанным с опытом. Но почему же тогда она так идеально подходит для описания физической Вселенной? Это именно то, что физик Юджин Вигнер называл "непостижимой эффективностью математики в естественных науках". Рассмотрим в качестве простого примера эллипс. Он был известен древним грекам как кривая, которая получается при разрезании конуса плоскостью под определенным углом. Архимед и другие греческие математики изучали свойства эллипса просто из интереса к геометрии. Затем, более 2000 лет спустя, Иоганн Кеплер открыл, что планеты в своем движении вокруг Солнца с высокой точностью описывают эллипсы. Но что общего у движений Марса и Венеры с коническими сечениями? 
Ближе к нашему времени, в 1960-х годах, математик Виктор Кац (Victor Кас) исследовал класс замысловатых математических структур, известных как алгебры Каца-Муди. Единственной мотивом для этого был его нюх, который подсказывал: эти структуры пахнут чем-то интересным и могут привести к красивым математическим результатам. Никто не мот предсказать, что через пару десятилетий эти алгебры станут играть ключевую роль в теории струн.
Эти примеры не являются исключениями. Чаще случается именно так, а не наоборот: физики обнаруживают, что математические построения, необходимые им для описания нового класса явления, уже исследованы математиками по причинам, не имеющим ничего общего с обсуждаемыми явлениями. Похоже, что Творцу присуще математическое чувство красоты. Многие физики, полагаясь на эту его черту, используют математическую красоту в качестве путеводной нити в поисках новых теорий. Согласно Полю Дираку, одному из основоположников квантовой механики, "красота уравнений важнее их соответствия эксперименту, потому что расхождения могут быть вызваны второстепенными причинами, которые прояснятся по мере развития теории".
Математическую красоту определить ничуть не проще, чем в красоту в искусстве. Примером того, что математики считают красивым, может служить формула Эйлера: е^iπ+1=0.  Один из критериев красоты — это простота, но одной простоты недостаточно. Формула 1+1=2  проста, но не особо красива, поскольку тривиальна. Напротив, формула Эйлера демонстрирует весьма неожиданную связь между тремя, казалось бы, независимыми числами: числом е, известным как основание натуральных логарифмов, "мнимым" числом i  — квадратным корнем из -1 и числом π — отношением длины окружности к ее диаметру. Это свойство можно назвать глубиной. Красивая математика соединяет простоту и глубину. 
Если и в самом деле Творец имеет математический склад ума, тогда уравнения окончательной Теории Всего должны быть поразительно простыми и невероятно глубокими. Некоторые считают, что эта окончательная теория есть теория струн, которую мы сейчас открываем. Безусловно, она очень глубока. Простой ее не назовешь, но простота может проявиться, когда теория будет лучше понята.

Математическая демократия

Если мы когда-нибудь откроем окончательную Теорию Всего, останется вопрос: почему именно эта теория? Математическая красота может быть полезна как путеводная нить, но трудно себе представить, что ее достаточно для выбора единственной теории из бесконечного множества возможностей. Говоря словами физика Макса Тегмарка, "почему одна, и только одна, математическая структура должна быть наделена физическим существованием?" Тегмарк, работающий ныне в Массачусетсом технологическом институте, предложил путь для выхода из этого тупика.
Его предложение столь же простое, сколь и радикальное: он отстаивает идею, что для любой и каждой математической структуры должна существовать отвечающая ей вселенная. Существует, например, ньютоновская вселенная, подчиняющаяся законам евклидовой геометрии, классической механики и теории гравитации Ньютона. Есть также вселенные, в которых пространство имеет бесконечное число измерений, и другие — с двумя измерениями времени. Еще труднее представить себе вселенную, управляемую алгеброй кватернионов, не имеющую ни пространства, ни времени.
Тегмарк утверждает, что все эти вселенные существуют "где-то". Мы не знаем о них точно так же, как не знаем о других вселенных, зарождающихся из ничего. Математические структуры в некоторых из этих вселенных достаточно изощренны, чтобы допустить возникновение "самосознающих подструктур", подобных вам и мне. Такие вселенные редки, но, конечно, только они могут быть наблюдаемы.
У нас нет фактов в поддержку столь радикального расширения реальности. Единственная причина повышать статус вселенных с другими математическими структурами до реального существования — это обход необходимости объяснять, почему они не существуют. Возможно, это удовлетворило бы некоторых философов, но физикам нужно что-то более существенное. В духе принципа заурядности можно было бы попробовать показать, что фундаментальная теория нашей Вселенной — в некотором роде типичная среди всех теорий, достаточно богатых, чтобы содержать наблюдателей. Это могло бы поддержать расширенный мультиверс Тегмарка.
Предложение Тегмарка сталкивается, однако, с очень серьезной проблемой. Число математических структур увеличивается с ростом сложности, а значит, "типичная" структура должна ужасать своей тяжеловесностью и громоздкостью. Очевидно, это противоречит простоте и красоте теорий, описывающих мир.

Мир многих миров

На протяжении веков философы и теологи пытались обосновать, что Вселенная конечна или бесконечна, неизменна или развивается, вечна или преходяща. Может показаться, что все возможные ответы на эти вопросы уже рассмотрены. Однако никто не предвосхитил картину мира, родившуюся из последних достижений космологии. Вместо выбора между противоречащими друг другу вариантами она допускает, что в каждом из них есть некоторая доля правды.

В центре новой системы мира лежит картина вечной инфляционно расширяющейся Вселенной. Она состоит из изолированных "островных вселенных", где инфляция закончилась, окруженных инфляционным морем ложного вакуума. Границы этих постинфляционных островов быстро расширяются, но разделяющие их расстояния растут еще быстрее. Так что всегда есть место для образования новых островных вселенных, и их число безгранично увеличивается.
При взгляде изнутри каждый остров представляется самодостаточной бесконечной вселенной. Мы живем в одной из таких островных вселенных, и наблюдаемая нами область — лишь один из бесконечного числа содержащихся в ней О-регионов. Можно фантазировать на тему того, как спустя миллиарды лет наши далекие потомки будут путешествовать в другие О-регионы, однако добраться в другую островную вселенную невозможно принципиально. Неважно, как долго и насколько быстро мы будем лететь, — мы навсегда связаны с нашей островной вселенной.
В целом все вечно инфлирующее пространство-время возникло из крошечной замкнутой вселенной. Она квантовомеханически туннелировала из ничего и сразу оказалась ввергнута в никогда не прекращающуюся бешеную инфляцию. Таким образом, Вселенная вечна, но у нее было начало.
Инфляция быстро раздула Вселенную до огромного размера, но глобально она всегда остается замкнутой и конечной. Причем из-за особой структуры инфляционного пространства-времени она содержит неограниченное количество бесконечных островных вселенных.
Фундаментальные постоянные, определяющие характер нашего мира, получают различные значения в разных островных вселенных. Большинство из этих вселенных кардинально отличаются от нашей, и лишь малая часть из них пригодна для жизни (В зависимости от фундаментальной теории константы могут меняться и внутри отдельной островной вселенной. Наша собственная островная вселенная будет тогда по большей части пустынной с редкими обитаемыми анклавами.). Наблюдатели каждого такого обитаемого острова обнаружат, что их вселенная развивается от Большого взрыва к большому сжатию. Однако с глобальной точки зрения все типы островов на всех стадиях своей эволюции существуют одновременно. Эта ситуация подобна человеческой популяции на Земле. Каждая личность начинает жизнь ребенком и со временем становится старше, но население в целом в каждый момент включает людей всех возрастов. Хотя общий объем Вселенной растет со временем, часть пространства, занятая каждым типом островов, не меняется. В этом смысле вечно инфлирующая Вселенная является стационарной.
Поразительная особенность новой картины мира — это существование за пределами наблюдаемой области множества "других миров". Реальность некоторых из них достаточно несомненна. Мало кто, например, будет сомневаться в реальности других О-регионов, несмотря на то что они недоступны для наблюдения. Имеются косвенные доказательства множественности островных вселенных с различными свойствами. Что же касается других несвязанных пространств-времен, зародившихся из ничего, то нет никаких идей относительно возможности наблюдательной проверки их существования.
Картина квантового туннелирования из ничего наводит на другой интригующий вопрос. Процесс туннелирования управляется теми же фундаментальными законами, которые описывают последующую эволюцию Вселенной. Следовательно, законы должны быть "на месте" еще до того, как возникнет сама Вселенная. Означает ли это, что законы — не просто описания реальности, а сами по себе имеют независимое существование? В отсутствие пространства, времени и материи на каких скрижалях могут быть они записаны? Законы выражаются в форме математических уравнений. Если носитель математики — это ум, означает ли это, что ум должен предшествовать Вселенной?
Эти вопросы ведут нас вглубь непознанного, в самую бездну величайшей из тайн. Трудно представить себе, что когда-либо мы сможем ее раскрыть. Но, как и прежде, возможно, это просто свидетельствует об ограниченности нашего воображения.

Почему математика столь эффективна?

Существует вопрос, давно волнующий людей, задумывающихся об основаниях математики: почему математика столь эффективна при описании нашего мира и столь хорошо описывает его эволюцию?
Этот вопрос возникает, как только мы вводим числа и начинаем использовать их при счете. Похожий вопрос возникает, как только мы вводим дифференциальное исчисление и применяем его к описанию движения планет. Существуют некоторые правила, помогающие нам оперировать с математическими символами и связывать эти операции с результатами наблюдений. Почему эти правила так хорошо работают? 
Конечно, всегда можно сказать, что это так, потому что так устроен мир. Однако вспомним о некоторых других вопросы похожего типа. Почему наша вселенная настолько велика? Почему параллельные линии не пересекаются? Почему различные части вселенной настолько похожи? Тридцать лет назад эти вопросы тоже казались слишком уж метафизическими и не рассматривались всерьез, теперь же мы знаем, что теория инфляционной вселенной может дать на них вполне разумные ответы. Попробуем воспользоваться ее помощью и в нашем случае. 
Прежде чем продолжать, попытаемся построить хотя бы один пример вселенной, в которой математика была бы неэффективной. Предположим, что вселенная может существовать в стационарном или квазистационарном вакуумном состоянии с планковской плотностью  ρ≈ M_p⁴≈ 10⁹⁴ g/cm³

Согласно квантовой гравитации, квантовые флуктуации кривизны пространства-времени при этом должны быть порядка самой кривизны, другими словами, в такой вселенной эталон длины (к примеру, линейка) будет изгибаться, скручиваться и растягиваться хаотическим и непредсказуемым образом гораздо быстрее, чем можно было бы с его помощью измерить длину, часы будут разрушаться настолько быстро, что с их помощью нельзя будет измерять время, вся информация о прошлом будут разрушаться, так что невозможно будет вспомнить ничего из произошедшего, на основе этого сделать предсказание о будущем и сравнить его с экспериментальными данными. 
Похожая ситуация имеет место и для типичной неинфляционной замкнутой вселенной. В квантовой гравитации есть лишь один естественный масштаб длины  L_p= M_p^-1, и лишь один - плотности энергии   ρ_p= M_p⁴. Легко показать, что для типичной замкнутой вселенной с типичными начальными размером  L_p и плотностью  ρ_p  время жизни до коллапса составляет примерно t_p= M_p^-1≈ 10^-43 секунды, и в течение всей своей недолгой жизни в такой вселенной сохраняется плотность энергии порядка планковской или выше. В такой вселенной может существовать лишь несколько элементарных частиц (Linde, 1990a), и потому в ней не может оказаться ни одного наблюдателя, некому в ней построить измерительные приборы, зафиксировать происходящие в ней события и описать их при помощи математики. 
В этих примерах математика была бы достаточно неэффективной, так как она не могла бы помочь связать между собой различные явления и процессы. Более того, если законы физики в некоторой части вселенной не допускают формирования стабильных долгоживущих структур, математика там будет практически бесполезной, и там не будет наблюдателей (долгоживущих объектов, наделенных сознанием и памятью), которые могли бы нам об этой области вселенной рассказать. 
К счастью, среди всех областей вселенной (или среди всех возможных вселенных) обязательно найдутся те, в которых возможна инфляция. Плотность энергии в таких областях со временем становится на много порядков меньше планковской  M_p⁴, размеры их экспоненциально увеличиваются и существуют такие области экспоненциально долго. Наше существование возможно только в тех из данных областей, в которых законы физики допускают существование стабильных долгоживущих структур, что подразумевает возможность существования математики, которую можно использовать для долговременных предсказаний. Быстрое развитие человечества стало возможным лишь потому, что живем мы во вселенной, в которой такие долговременные предсказания достаточно эффективны для того, чтобы помочь выжить во враждебном окружении и победить в борьбе за существование все другие виды. 
В результате, в рамках концепции Мультимира можно представить себе все возможные вселенные со всеми возможными законами физики и математики. Жить же мы можем лишь в тех из них, в которых математика достаточно эффективна.

Имеет ли значение сознание?

Хорошим началом для нашего краткого обсуждения роли сознания будет квантовая космология, теория, пытающаяся объединить космологию и квантовую механику.
Если квантовая механика работает везде и всегда, мы можем попытаться применить ее ко всей вселенной, чтобы получить ее волновую функцию, что дало бы возможность судить, какие события вероятны, а какие - нет. Однако, данный подход весьма часто приводит к парадоксам. К примеру, следствием уравнения Уилера - де Витта (DeWitt, 1967), которое есть просто уравнение Шредингера для волновой функции все вселенной, является то, что эта волновая функция не зависит от времени, так как полный гамильтониан вселенной, включающий гамильтониан гравитационного поля, тождественно равен нулю. Этот результат был получен в 1967 году Брюсом де Виттом (Bruce DeWitt). Потому описание вселенной с помощью ее волновой функции сталкивается с проблемой того, что вселенная как целое неизменна во времени. 
Решение этого парадокса, предложенное Брюсом де Виттом, достаточно поучительно (DeWitt, 1967). Понятие эволюции неприменимо ко вселенной в целом, так как нет ни одного внешнего по отношению к ней наблюдателя, так же как нет часов, не принадлежащих ей. Более того, нас на самом деле интересует не то, почему вселенная в целом эволюционирует, мы просто пытаемся объяснить наши экспериментальные данные. Потому правильным вопросом будет: почему мы видим вселенную эволюционирующей именно так? Для того, чтобы на него ответить, надо сначала поделить вселенную на две главные части - наблюдателя с его часами и измерительными приборами и остальную вселенную. Тогда можно показать, что волновая функция всей остальной вселенной зависит от состояния часов наблюдателя, что есть от его "времени". Эта зависимость от времени в некотором смысле объективна: результаты, полученные различными (макроскопическими) наблюдателями, живущими в одном и том же квантовом состоянии вселенной и пользующимися достаточно хорошими (макроскопическими) приборами будут совпадать. 
Как видно, без введения наблюдателя вселенная оказывается мертвой и не эволюционирующей со временем. Это показывает необычно важную роль, играемую понятием наблюдателя в квантовой космологии. Джон Уилер подчеркнул сложность ситуации, заменив слово наблюдатель на участник и введя понятие вселенной, наблюдающей саму себя. 
Большую часть времени, обсуждая квантовую космологию, мы можем оставаться полностью в рамках чисто физических категорий, рассматривая наблюдателя просто как механизм и не задаваясь вопросом, есть ли у него сознание и чувствует ли он что-либо в процессе измерений. Это приближение вполне достаточно для многих практических задач, однако нельзя исключать возможности того, что последовательное избежание понятия сознания в квантовой космологии может привести к искусственному сужению области нашего рассмотрения. 
Вспомним достаточно поучительный пример из истории науки. До формулировки общей теории относительности пространство, время и материя казались тремя различными фундаментальными сущностями.Пространство рассматривалось как нечто вроде трехмерной сетки координат, которую, при добавлении к ней часов, можно было использовать для описания движения тел. У пространства-времени не было внутренних степеней свободы, оно играло вспомогательную роль инструмента при описании реально существующего материального мира. 
Общая теория относительности ознаменовала собой существенное изменение этой точки зрения. Пространство-время и материя оказались взаимозависимыми, более не возникал вопрос, что из них более фундаментально. У пространства-времени также были обнаружены внутренние степени свободы, связанные с возмущениями метрики - гравитационными волнами. Таким образом, пространство может существовать и меняться со временем даже при отсутствии электронов, протонов, излучения и так далее, то есть всего, что ранее называлось материей. Конечно, можно просто переопределить понятие материи, так как, в конце концов, гравитоны (кванты гравитационного поля) - такие же реальные частицы, как и все остальные, существующие в нашей вселенной. С другой стороны, введение гравитонов дает нам, в лучшем случае, лишь приближенное (основанное на теории возмущений) описание флуктуирующего пространства-времени. Ситуация тут совершенно противоположна бытовавшему ранее представлению о том, что пространство-время - лишь инструмент для описания материи. 
Более современная тенденция, наконец, направлена на создание объединенной геометрической теории всех фундаментальных взаимодействий, включая и гравитацию. До конца 70-х годов прошлого века это казалось неосуществимым: были доказаны строгие теоремы насчет невозможности объединения пространственных симметрий со внутренними симметриями теории фундаментальных частиц. К счастью, эти теоремы удалось обойти после открытия суперсимметрии и супергравитации. В этих теориях материальные поля и пространство-время объединяются в едином понятии суперполя. 
Давайте теперь вернемся к сознанию. Стандартное представление состоит в том, что сознание, как и пространство-время до введения ОТО, играет вторичную, вспомогательную роль, являясь просто функцией материи и средством описания реально существующего материального мира. Но давайте вспомним, что наше знание о мире начинается не с материи, но с ощущения. Я точно знаю, что моя боль существует, так же как и и мое "зеленое" или "приятное". Я не нуждаюсь ни в каких доказательствах их существования, так как они являются частью меня, все же остальное является просто теорией. Далее, мы обнаруживаем, что наши ощущения подчинены некоторым закономерностям, что наиболее просто истолковывается как существование за ними некой реальности. Далее эта модель мира, подчиняющегося законам физики, становится настолько успешной, что мы вскоре забываем об ее истоках и говорим, что единственной реальностью является материя, а ощущения - лишь полезный инструмент для ее описания. Это предположение так же естественно (и, быть может, так же неверно), как и предположение о том, что пространство - лишь математический инструмент описания материи. Мы заменяем реальность наших ощущений успешно работающей теорией независимо существующего материального мира. И эта теория настолько успешна, что мы практически не задумываемся над ее ограничениями. 
Пользуясь аналогией с постепенным изменением концепции пространства-времени, осмелимся сформулировать несколько вопросов, на которые пока нет ответов (Linde, 1990a; Page, 2002): 
Возможно ли, что сознание, подобно пространству-времени, имеет свои внутренние степени свободы, пренебрежение которыми ведет к фундаментально неполному описанию вселенной? Что, если наши ощущения так же реальны (или, быть может, даже более реальны), чем материальные объекты? Что, если мое красное и синее, моя боль - реально существующие объекты, а не просто отражения реального мира? Возможно ли ввести "пространство элементов сознания" и предположить, что сознание может существовать само по себе, даже при отсутствии материи, подобно гравитационным волнам, существующим при отсутствии протонов и электронов? 
Заметим, что гравитационные волны обычно настолько слабы и так слабо взаимодействуют с веществом, что мы до сих пор их впрямую не обнаружили. Однако их существование предельно важно для самосогласованности нашей теории, как и для понимания некоторых астрофизических явлений. Не может ли оказаться, что сознание - настолько же важная часть согласованной картины нашего мира, несмотря на то, что до сих пор мы могли совершенно пренебрегать им при описании известных нам физических явлений? Не окажется ли при дальнейшем развитии науки, что они изучение вселенной и сознания неразрывно связаны, и существенный прогресс в одном направлении невозможен без прогресса в другом?

 глава из книги А. Виленкина "Many Worlds in One: The Search for Other Universes"