Нутация неупругой Земли

В.Е.Жаров

О работе международного коллектива,
удостоенной премии Декарта 2003 г.

Доклад "Нутация неупругой Земли" о работе международного коллектива, которая удостоена премии Декарта 2003 г., я хочу сделать по следующему плану. В кратком введении будет рассказано о необходимости разработки новой теории нутации, о причинах, вызывающих прецессию и нутацию Земли, об определении двух основных системах отсчета в современной астрономии: земной и небесной.

Во второй части доклада будет рассказано об основных положениях новой теории нутации, следствиях и возможных путях улучшения точности теории.

В настоящее время в связи с решением разнообразных задач человечество нуждается в точных навигационных системах для определения положения различных объектов на Земле и в космосе. Например, на многих самолетах, кораблях, автомобилях установлены приемники глобальной системы позиционирования (GPS); в будущем планируется широкое использование Европейской навигационной системы GALILEO.

Определение положения объекта возможно лишь относительно опорных систем отсчета. Построение систем отсчета на Земле и на небесной сфере, а также изучение стабильности этих систем во времени и пространстве, является задачей астрометрии, геодинамики и геодезии. На практики используются две основных системы отсчета: земная система, жестко связанная с корой Земли и вращающаяся вместе с Землей, и небесная система, которая неподвижна в пространстве. Так как Земля вращается неравномерно, то это вызывает непредсказуемые нерегулярные повороты земной системы отсчета относительно небесной системы. Если мы хотим связать две опорные системы отчета с высокой точностью, то вариации вращения Земли также должны быть известны с высокой точностью. Обычно вариации во вращении Земли разделяют на движение полюса (смещение оси вращения в теле Земли) и изменение угловой скорости вращения. Кроме этого, направление оси вращения Земли изменяется в пространстве. Ось вращения испытывает смещения двух видов: движение с периодом примерно 26 тысяч лет называется прецессией, а более короткие движения, которые накладываются на прецессионное движение и периоды которых лежат в интервале от 18 с половиной лет до нескольких суток нутацией. Причиной прецессионно-нутационного движения оси вращения Земли является притяжение экваториального избытка масс Земли Луной и Солнцем. Силы притяжения пытаются совместить плоскость экватора Земли с плоскостью ее орбиты, однако из-за вращения Земли этого не происходит (рис.1).

Рис. 1. Прецессионно-нутационное движение оси вращения Земли: пара сил притяжения F1, F2, приложенных к точкам A и B экваториального утолщения Земли, создает момент сил, который стремится совместить плоскость экватора AB с плоскостью эклиптики OS (или с плоскостью орбиты Земли). Из-за вращения Земли вектор углового момента H медленно обращается "прецессирует" относительно оси ПNПS с угловой скоростью pr. Скорость прецессии определяется разностью полярного и экваториального моментов инерции Земли, моментом пары сил F1, F2, а направление прецессионного движения противоположно направлению вращения Земли. Величина момента пары сил F1, F2 определяется расположением Земли относительно Солнца, Луны, планет и зависит от наклона орбиты Луны к эклиптике, эксцентриситетов лунной и земной орбит, среднего движения Земли и Луны по орбитам и т.д.

Допустим, что Солнце находится в точке S, центр масс Земли расположен в точке O, точки A и B находятся на экваторе Земли. Из рис.1 видно, что SA<SO<SB. Значит, модуль силы притяжения Солнцем точки A, равный |F_A|, будет больше, чем модуль силы притяжения точки B, равный |F_B|, т.е. |F_A|>|F_B|. Из векторных равенств F₁= F_A F_O и F₂= F_B F_O получим F₁>F₂. Пара сил F₁, F₂, следовательно, стремится повернуть плоскость экватора AB по часовой стрелке и совместить ее с плоскостью OS. Из-за вращения Земли такого поворота не происходит, но ориентация оси вращения OP_N изменяется: она описывает в пространстве конус со средней скоростью 50,3", и угол между осью вращения Земли и осью П_NП_S равен примерно 23,5^o.

В действительности мгновенная угловая скорость прецессии складывается из двух частей: первая обусловлена моментом сил притяжения Солнца, вторая - Луны. В результате этого суммарного эффекта северный полюс мира (точка P_N) описывает на небесной сфере кривую, близкую к окружности, с угловым радиусом, равным 23,5^o. Период оборота равняется примерно 26000 лет.

Кроме медленного прецессионного движения ось вращения Земли испытывает и периодические колебания нутацию с гармониками, основные из которых имеют периоды 13,7 суток, 27,6 суток, 6 месяцев, 1 год, 18,6 лет. Гармоника с периодом 18,6 лет имеет максимальную амплитуду 9". Остальные нутационные гармоники имеют меньшие амплитуды. В результате нутационного движения ось вращения описывает сложные петли в пространстве (рис.2,а).

Рис. 2. а) Нутация оси Земли (без учета прецессионного движения) с 1983 по 1998 гг. Нутационное движение разложено на две компоненты: - нутацию в долготе и - нутацию в наклоне. Главная нутационная гармоника, имеющая период, равный 18,6 года, определяется поворотом плоскости лунной орбиты. Меньшие петли вызваны эллиптичностью орбит Луны и Земли, наклоном орбиты Луны к эклиптике и рядом других причин. Теория нутации Земли МАС1980 включает 106 гармоник нутационного движения; новая теория нутации МАС2000 почти 1500 гармоник с периодами от 2 суток до 18,6 лет. б) Разность в нутации в долготе и нутации в наклоне при использовании теории нутации МАС1980, полученная из наблюдений на РСДБ.

Так как координаты небесных тел отсчитываются от северного полюса мира (точки P_N), то прецессия и нутация приводят к смещению координатной сетки на небесной сфере.

Таким образом, прецессия и нутация зависят от сжатия, внутреннего строения Земли, от наклона оси ее вращения к плоскости орбиты, от расположения Луны, Солнца, планет и многих других причин. Следовательно, чтобы построить теорию прецессии-нутации необходимо знать точные эфемериды Солнца, Луны и планет, а также знать внутреннее строение Земли.

Нутация в настоящее время исследуется с помощью радиоинтерферометров со сверхдлинными базами (РСДБ), на которых наблюдаются внегалактические радиоисточники. Сравнение наблюдаемой нутации с теоретической нутацией, вычисляемой по теории МАС1980, которая была принята Международным астрономическим союзом (МАС) в 1980 г., показало, что разница между ними значительно превышает ошибки наблюдений, которые равны примерно 1 мс дуги (рис.2,б). Из спектрального анализа данных, показанных на рис. 2,б, следует, что, прежде всего, необходимо объяснить разницу теоретической (МАС1980) и наблюдаемой амплитуд основной 18,6-летней гармоники, а также годичной гармоники. Для других гармоник разница значительно меньше, но, тем не менее, значима.

Для объяснения этой разницы в 1994 г. решением МАС и Международного союза геодезии и геофизики была создана рабочая группа под названием "Non-rigid Earth Nutation Theory" ("Нутация неупругой Земли"), задачей которой была разработка новой теории нутации и прецессии Земли.

Прежде чем рассматривать основные положения новой теории нутации, вернемся к началу доклада и поясним, для чего необходима точная теория нутации. Если наблюдения проводятся в земной системе отсчета ITRF (International Terrestrial Reference Frame), жестко связанной с корой Земли и вращающейся вместе с Землей, то координаты наблюдателя определяются в этой системе. На рис. 3 зеленым цветом показаны две оси земной системы Ox и Oz на заданную эпоху. Наблюдения, проводимые с поверхности Земли, определяют положение полюса земной системы координат (оси Oz), относительно небесной системы ICRF (International Celectial Reference Frame). На рис.3 синим цветом показаны две оси системы OX и OZ на эпоху J2000.0. При преобразовании координат из земной системы в небесную систему вводится промежуточный полюс, который называется небесным эфемеридным полюсом (НЭП). Положение НЭП на небесной сфере определяется теорией прецессии и нутации. Координаты НЭП в земной системе называются координатами полюса x_p, y_p. Угол, на который Земля поворачивается относительно НЭП за определенный промежуток атомного времени, называется гринвичским истинным звездным временем (Greenwich Apparent Siderial Time - GAST). С помощью точной процедуры гринвичское истинное звездное время может быть преобразовано во всемирное время UT1.

Рис. 3. Расположение осей земной и небесной систем координат Oxyz (ITRF) и OXYZ (ICRF), определение координат НЭП (xP,yP,GAST) в земной и небесной системах (экватор ICRF и оси Oy,OY опущены). Из-за ошибок теории МАС1980 полюс, определяемый МСВЗ, описывает около полюса PICRF сложную кривую (см. рис.2,б). На эпоху J2000.0 полюс МСВЗ PJ2000 смещен относительно PICRF на величину: =-20.10 мс дуги, -2.56 мс дуги ($\varepsilon_0$ наклон эклиптики к экватору на эпоху J2000.0).

Так как теория прецессии и нутации построена с некоторыми ошибками, то эти ошибки (или углы - нутация в долготе и - нутация в наклоне) находятся из наблюдений на РСДБ как поправки к вычисленным на основе принятой МАС теории нутации углам , . Таким образом координаты небесного эфемеридного полюса в небесной системе равны , . Если бы теория прецессии-нутации была точной, то и полюс, определяемый Международной службой вращения Земли (МСВЗ), совпадал бы с полюсом небесной системы PICRF. На самом деле из-за ошибок теории нутации МАС1980 полюс P_ICRF на эпоху J2000.0 не совпадает с полюсом P_J2000, определенным МСВЗ.

Пять углов - UT1, x_p, y_p, , называются параметрами ориентации Земли, и регулярно определяются на основе наблюдений Международной службой вращения Земли. Все пять углов одновременно могут быть найдены только из РСДБ наблюдений. Зная эти углы, можно связать координаты внегалактических источников, которые определяют небесную систему отсчета, и координаты радиотелескопов, определяющие земную систему отсчета.

Рабочую группу по разработке теории нутации возглавила проф. Вероника Дехант из Королевской обсерватории Бельгии. В течение семи лет работы группы была проделана значительная работа: исследованы различные процессы, влияющие на нутацию (течения в жидком вязком ядре, дифференциальное вращение твердого внутреннего ядра, сцепление жидкого ядра и мантии, неэластичность мантии, движения в океанах и атмосфере и т.д.). Доклад рабочей группы под названием "Considerations concerning the non-rigid Earth nutation theory", опубликованный в Cel. Mech. and Dyn. Astr., 72, 245-310, 1999, был принят XXIV Генеральной Ассамблеей МАС. В резолюции B1.6 XXIV ГА МАС указывается, что новая теория нутации МАС2000, которая согласуется с наблюдениями в пределах 0,2 мс дуги, должна применяться при астрономических вычислениях всеми пользователями, начиная с 1 января 2003 г.

Рассмотрим теперь, за счет чего был достигнут такой прогресс, и точность теории повышена на порядок. Прежде всего заметим, что теория МАС1980 построена для модели Земли с упругой мантией и жидким невязким ядром. Включение в модель строения Земли параметров, описывающих сцепление жидкого ядра и мантии, неэластичность мантии, движений в океанах и атмосфере и т.д. не требовалось, так как эти эффекты приводят к нутации, величина которой была меньше ошибок наблюдений. Только при значительном повышении точности наблюдений, которое произошло после появления и непрерывной модернизации РСДБ, начиная с 1980 г., эти эффекты были выявлены и должны были быть объяснены рабочей группой.

Для решения такой сложной проблемы, как построение теории нутации неупругой Земли, было решено разбить ее на несколько уровней:

• Уровень 1 входная модель строения Земли (для вычисления передаточной функции на Уровне 2);
• Уровень 2 вычисление передаточной функции Земли для определения нутации на комплексной частоте ;
• Уровень 3 вычисление нутации абсолютно твердой Земли;
• Уровень 4 вычисление свертки (перемножение в частотной области) передаточной функции Земли, полученной на Уровне 2, и нутаций абсолютно твердой Земли (Уровень 3) (без учета атмосферы и океанов):
• Уровень 5 введение поправок за атмосферу и океаны;
• Уровень 6 сравнение теоретических гармоник (Уровень 4), исправленных согласно Уровню 5, с результатами РСДБ наблюдений.

Каждая из перечисленных задач является сложной, однако из-за того, что они решались параллельно, теорию нутации удалось построить в кратчайшие сроки. В основе новой теории лежат нутационные серии для абсолютно твердой Земли, полученные разными группами по новым эфемеридам разными методами. Сравнение показало, что разности между сериями очень малы: наибольшая разность не превышает 20 мкс дуги для 18,6-летней гармоники.

Для вычисления передаточной функции неупругой Земли были учтены особенности строения Земли: наличие жидкого и твердого ядра, атмосферы, приводит к появлению резонансных частот; конвекция в мантии, взаимодействие ядра и мантии, наличие океанов приводят к появлению эффектов затухания. Математически это выражается в появлении комплексной части у частоты ; передаточная функция также является комплексной. Отличие функции от единицы, наличие резонансных частот и то, что частота является комплексной величиной и служит описанием отличия строения Земли от модели абсолютно твердой Земли. Основным достижением рабочей группы является вычисление передаточной функции неупругой Земли. К сожалению, многие параметры, описывающие неупругость Земли, заранее неизвестны. Поэтому, после свертки передаточной функции и нутации абсолютно твердой Земли теоретические нутационные гармоники были подогнаны к наблюденным гармоникам путем подбора значений некоторых параметров. Это означает, что из астрономических наблюдений мы уточнили внутреннее строение Земли.

На рис. 4 черной линией показаны поправки , к вычисленным на основе теории нутации МАС1980 углам , (это те же поправки, что и показанные на рис.2,б). Красной линией показаны поправки к новой теории нутации МАС2000. Среднеквадратичное взвешенное отклонение теории от наблюдений не превышает 0.2 мс дуги. Видно, что основной вклад в ошибку вносит гармоника с периодом (в земной системе отсчета) примерно 420-430 суток, которая называется почти суточной нутацией. Почти суточная нутация это одна из нормальных мод Земли. Возбуждение на частоте почти суточной нутации, которое имеет место (как видно из рис.4), возможно малоэнергетическими процессами из-за очень высокой добротности (20000-30000) Земли на этой резонансной частоте. Такими процессами могут быть приливы ₁ в атмосфере и океанах.

Рис. 4. Нутационные поправки , к вычисленным на основе теории нутации МАС1980 углам (черная линия). Красной линией показаны поправки к новой теории нутации МАС2000.

Результаты работы группы были доложены на XXIV Генеральной Ассамблее МАС и одобрены. На основе доклада В.Дехант и отчета рабочей группы XXIV ГА МАС приняла резолюцию B1.6 "IAU 2000 Precession-Nutation Model". В резолюции указывается, что разработана новая теория нутации, которая согласуется с наблюдениями в пределах 0,2 мс дуги. Теория МАС2000 должна применяться при астрономических вычислениях всеми пользователями, начиная с 1 января 2003 г. В то же время Генеральная Ассамблея МАС рекомендует продолжить теоретические разработки новых теорий нутации неупругой Земли, продолжить РСДБ наблюдения, чтобы увеличить точность вычисления нутационных углов, а также исследовать непредсказуемую почти суточную нутацию.

В качестве основных направлений для дальнейшего уточнения теории укажем следующие: учет вязкости жидкого ядра, учет конвекции в жидком ядре, учет дифференциального вращения твердого ядра, учет нелинейных членов при вычислении свертки. Эта работа была начата в 1999 г. С.Л.Пасынком. Сейчас им получены очень интересные результаты. Надеюсь, что в следующем году он защитит докторскую диссертацию. Главный вывод работы С.Л.Пасынка точность новых теорий нутации определяется точностью РСДБ наблюдений и длиной ряда (25 лет); теории одинаково хорошо согласуются с наблюдениями на этом коротком интервале. Однако теория С.Л.Пасынка наиболее полно учитывает особенности строения Земли и дает ограничения на ряд параметров. Но, по-прежнему, актуальной проблемой остается объяснение (предсказание) почти суточной нутации. Если удастся построить модель возбуждения почти суточной нутации, то это даст выигрыш в точности теории нутации еще в несколько раз.

В заключении хочу подвести итог и ответить на вопрос: "В каких областях науки используется теория нутации?"

Знание связи земной и небесной систем отчета необходимо при наблюдении спутников, космических зондов и определении их координат. Любой человек при определении координат на поверхности Земли с помощью навигационных систем (GPS, ГЛОНАСС, а в будущем GALILEO) использует принятую теорию нутации, часто не зная этого. Международная служба вращения Земли разработала Соглашения (IERS Conventions 2000), в которых приводится точная процедура для вычисления ориентации Земли в пространстве. Это является необходимым условием для вычисления по координатам космических аппаратов координат пунктов на поверхности Земли или, наоборот, координат космических аппаратов по наблюдениям с поверхности Земли. Для осуществления новых космических проектов Евросоюза, таких как ENVISAT, GOCE, CRYOSAT, требуется еще более точная теория прецессии-нутации, а также более точная координатная сетка на поверхности Земли и небесной сфере.

С другой стороны, кроме решения прикладных задач астрометрии, геодезии и навигации, теория нутации позволяет заглянуть в глубины Земли и дать ответ на фундаментальные вопросы: каково сжатие границы ядро-мантия, значение вязкости жидкого ядра, скорости вращения твердого ядра, величины магнитного поля в ядре, вязкости мантии. Зная частоту почти суточной нутации, оказалось возможным найти сжатие границы ядро-мантия. Включение в теорию нутации параметров, зависящих от электромагнитного сцепления жидкого ядра и мантии, позволило оценить величину магнитного поля в ядре, скорость течений и т.д. Другими способами этого сделать было нельзя.