Простейшая модель способна демонстрировать статичность, цикличность и хаотичность

Биолог Роберт Мэй писал: "...я настоятельно советую, чтобы люди знакомились с логистическим уравнением на раннем этапе своего обучения математике. Такое изучение очень обогащало бы интуитивные знания учащегося о нелинейных системах. Для всех нас было бы лучше, если бы не только в научной работе, но и в повседневной политической и экономической жизни как можно больше людей поняло, что простые нелинейные системы не всегда обладают простыми динамическими свойствами".
Предлагаю читателям, по совету Роберта Мэя, ознакомится с логистическим уравнением. Что, я надеюсь, поможет шире взглянуть на протекающие вокруг нас динамические процессы в природе, в политике и экономике.

Буду придерживаться правила научно-популярной литературы - минимум формул, ибо "каждая формула сокращает число читателей вдвое"), но совсем без них обойтись не удастся.

Предположим, что в процессе экологического, экономического или какого-нибудь другого роста некая величина x_n+1 для последующего поколения (например, число животных) есть линейная функция от текущего значения этой величины x_n:

x_n+1= rx_n , где r > 0 параметр роста. Неконтролируемый рост следует геометрической прогрессии: x_n= rⁿx₀ которая при r > 1 неограниченно возрастает.

Но, в большинстве случаев количество ресурсов ограниченно. Иначе говоря, чем больше x_n, тем меньше остается ресурсов для роста, что можно отразить в качестве дополнительного множителя (1-x_n). Здесь переменная x_n представляет число особей на изолированной территории, деленное на максимальное число особей, которых эта территория способна прокормить. (В таких единицах максимальное число животных равно 1). Иначе говоря, по мере того, как число животных приближается к максимуму (то есть 1), количество пищи, постоянно сокращаясь, приближается к нулю.

В результате получаем закон роста

 x_n+1 = rx_n(1-x_n)                                (1)

называемый квадратичным итерированным отображением, логистическим отображением или логистической параболой, или уравнением Ферхюльста, который впервые представил его публике в 1845 г. в качестве модели роста популяций, ограниченных конечностью ресурсов.

Казалось бы, простое и понятное уравнение, но его при пристальном исследовании начинают открываться удивительные вещи. Начнем плавно менять параметр роста r и следить за поведением итераций, то есть к чему они будут сходится при x₀>0.

При изменении r от 1 до 3 отображение (1) быстро сходится к величине x* = 1 - 1/r, называемой неподвижной точкой. Это означает, что, при прочих равных условиях и данном параметре роста, размер популяции будет стабильным.

При r = 3 неподвижная точка x* становится "нейтральной", то есть не притягивает и не отталкивает соседние точки, а при r > 3 нейтральная точка становится неустойчивой и расщепляется (претерпевает "бифуркацию") в орбиту с длиной периода 2. Например, при r=3,236 существует устойчивая, (более того, сверхустойчивая) орбита периода 2: 0,5 → 0,809016..→ 0,5 и т.д.

Что можно интерпретировать как циклическое изменение численности популяции. Быстро размножились - корм весь съели - случился мор из-за недостатка корма - корм восстановился из-за низкого потребления - быстро размножились и т.д. Уже интереснее.

Продолжаем увеличивать параметр роста и видим, что при дальнейшем увеличении r обе неподвижные точки становятся неустойчивыми одновременно (согласно цепному правилу дифференцирования, которое мы здесь опускаем) и претерпевают бифуркацию, порождая в результате орбиту с длиной периода 4. Уже имеем четыре неподвижные точки, которые, в свою очередь, при увеличении r расщепляются еще на две. Такой сценарий бифуркаций повторяется снова и снова по мере увеличения параметра роста, порождая орбиты периода 8, 16, 32, 64 и ad infinitum, когда каскад удвоений периода завершается "хаотической" орбитой с бесконечной длиной периода при r_∞= 3,5699....Система пошла вразнос и говорить о каком-либо прогнозировании в системах с хаотической орбитой бессмысленно. Наглядно описанный процесс можно увидеть на рис. 1,2.

Рис. 1. Бифуркационная диаграмма.

Рис. 2. Динамика устойчивых точек логистического отображения при x₀ = 0,2

На этом сюрпризы логистического отображения не заканчиваются. Хаос (плотно заполненные полосы на рис .1) перемежается окнами периодичности, в которых, в уменьшенном масштабе повторяется весь процесс бифуркаций. Значения параметра r, соответствующие окнам периодичности, всюду плотны, но на древообразном графике (рис 1), иногда называемом деревом Фейгенбаума, наиболее заметно окно при r = 3,83, в котором отображение имеет период 3. Из работ Ли и Йорка известно, что коль скоро наблюдается период 3, то существуют и все остальные периоды.

Отображение (1) открыло перед исследователями еще массу сюрпризов, таких как касательные бифуркации; перемежаемость хаотичного и периодического поведения и связь такого механизма с 1/f-шумом; самоподобная символическая динамика и канторово множество итераций удвоения периода. Об этом и не только можно прочитать в [1]. Всем рекомендую.

За окружающими нас сложными динамическими процессами (экономическими, политическими, экологическими) с их многообразными проявлениями, по моему глубокому убеждению, стоят простые закономерности, подобные логистическому отображению. Определив их и вычислив "параметр роста" можно вести речь о прогнозе поведения систем. Управляя параметром роста, мы можем управлять эволюцией соответствующих систем в необходимом направлении.

Литература.

1. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 528 стр.
2. Иллюстрации взяты с http://ipo.spb.ru/iumk2/MATH_XXI-11/Research_11/Research(11)_1.1-0/Res11_1.1-0.html