Парадоксальные математические задачки, решение которых противоречит здравому смыслу

Источник перевод для mixstuff – MakD

В математике найдётся немало примеров ситуаций, которые могут существовать в реальности, но не имеют логического объяснения, и, тем самым, ставят нас в полный тупик.

Следующие задачки, относящиеся к теории вероятности, не дадут вам заскучать и помогут протестировать ваши умственные способности:

1. Проблема Монти Холла

Представьте, что вы участвуете в шоу, где ведущий показывает вам три двери. За одной из дверей находится приз – новый автомобиль, а за двумя оставшимися – два козла. Вы можете выбрать любую дверь и получить именно тот приз, который за ней скрывается.

Вы выбираете дверь, а затем ведущий открывает одну из двух других дверей (ведущий знает, где скрывается машина, но он всегда открывает ту дверь, за которой находится козёл).

Ведущий спрашивает вас:

– Хотите ли вы поменять свой выбор?

– Или остановитесь на то же двери, которую выбрали?

Ваше решение?

Итак, вы решаете оставить прежний вариант выбора.

• Ведь не существует никакой разницы, менять дверь или нет.
• Так как осталось только две двери, то шанс угадать, где находится машина, составляет 50/50.
• Верно?

НЕВЕРНО!

Правильный ответ: вы всегда должны менять свой выбор, потому что тогда вероятность выиграть машину будет в два раза больше.

• Игрок, чья стратегия заключалась бы в том, чтобы каждый раз менять выбранную дверь, будет проигрывать только в том случае, если он изначально выбирает дверь, за которой находится автомобиль.
• Поскольку вероятность выбрать автомобиль с первой попытки составляет один к трём (или 33%), то шанс не выбрать автомобиль, если игрок будет менять свой выбор, также равен один к трём (или 33%).
• Это означает, что игрок, который использовал стратегию менять дверь, выиграет с вероятностью 66 % или два к трём.
• Это удвоит шансы на выигрыш игрока, чья стратегия – каждый раз не менять свой выбор.

Всё ещё не верите? Предположим, что вы выбрали дверь №1. Здесь представлены все возможные варианты того, что может произойти в этом случае:

Если вы оставляете свой первоначальный выбор, вы выигрываете один раз из трёх; если меняете выбор – угадываете два раза из трёх.

Вы по-прежнему не уверены? Давайте проделаем то же самое, только с 50 дверями. Вы выбираете дверь №1.

А мы открываем остальные 48 дверей, за которыми спрятаны козлы. Вы ещё уверены в своём выборе? Помните, что у вас есть 1 шанс из 50 угадать нужную вам дверь с первой попытки. Здесь действует тот же самый принцип.

Конечно, игра подразумевает, что вы непременно хотели выиграть автомобиль, а не козла.

2. Парадокс дней рождения

Предположим, вы работаете в офисе, где трудятся 23 работника, включая вас. Какова вероятность того, что у двоих сотрудников в офисе совпадут дни рождения?

(Мы не берём во внимание 29 февраля)

Ваш коллектив из 23 сотрудников (вы под №14): 

Ответ: Шанс того, что у двух людей в офисе день рождения приходится на один и тот же день, составляет 50%.

• Если количество человек достигает цифры 366, то статистически гарантировано, что хотя бы у двух людей дни рождения совпадут, так как возможно только 365 вероятных дней рождения.
• Однако если брать во внимание, что все дни рождения могут быть равновероятными, то для группы из 57 человек вероятность такого совпадения будет составлять 99%.

Как нам это выяснить?

• Давайте вернёмся к 23 коллегам из офиса, чтобы понять, как это возможно.
• Сформулируем обратное утверждение: не у двух человек в группе совпадут дни рождения.
• Выяснить вероятность того, что, по крайней мере, два человека в офисе справляют день рождения в один день, весьма затруднительно, если непосредственно столкнуться с этим.

  

• Выяснить вероятность того, что ни у кого в группе не совпадают дни рождения, намного легче.

Вероятность того, что у двух человек не совпадают дни рождения, такова:

Вероятность того, что у трёх человек не совпадают дни рождения, такова:

Вероятность того, что у четырёх человек не совпадают дни рождения, такова:

Видите, к чему мы приходим? Вероятность того, что у 23 человек дни рождения не совпадают, составляет:

Так как шанс, что никто не родился в один день, составляет 49,3%, то шанс, что хотя бы у двух человек дни рождения совпадают, равен 50,7%.

Вот как выглядит кривая вероятности:

По вертикали: вероятность пар; по горизонтали: количество человек

3. Ваши друзья намного популярнее вас или «парадокс дружбы»

К примеру, говоря языком соцсетей, люди, за которыми следит пользователь, и те, кто следит за ним, обладают большим количеством фолловеров, нежели он сам.

• Этот феномен основан на идее, что у большинства людей друзей меньше, чем у их друзей.
• В 1991 году социолог Скотт Фельд сделал удивительное открытие. Он обнаружил, что у 74% людей друзей меньше, чем их друзья имеют в среднем.

Давайте рассмотрим это утверждение на примере. Перед вами снова изображён офис, в котором работают 20 человек (предположим, что трое других был уволены). Линиями на рисунке отмечено, кто с кем в офисе дружит.

График дружественных связей:

В данном коллективе в среднем сотрудник имеет 2,85 друзей. Однако среднее количество друзей, с которыми дружат друзья этого человека, составляет 3,39.

Этими людьми оказались те, кто имеет среднее число друзей, как показано выше. Следовательно, они являются самыми популярными членами коллектива. Но самым главным является то, что 17 из 20 человек в офисе являются друзьями, по крайней мере, одного из этих людей:

Это всего лишь пример, но в реальной жизни он так же находит подтверждение.

• В Твиттере пользователи, на которых вы подписаны, с большей долей вероятности имеют большее число подписчиков, чем вы сами. Та же ситуация складывается с друзьями в Фейсбуке или Вконтакте.
• По сути, у вас есть больше шансов дружить с кем-то, кто является обладателем большого числа друзей, нежели с тем, кто дружит с маленьким количеством людей.
• Этот парадокс также распространяется на сексуальные отношения.
• Если один среднестатистический человек состоит в сексуальных отношениях с четырьмя другими людьми и ещё с одним «неразборчивым» партнёром, то его сексуальные партнёры будут в среднем иметь больше сексуальных партнёров, чем на самом деле, из-за человека, практикующего беспорядочные половые связи.

4. Задача трёх узников

Этот парадокс впервые опубликовал математик Мартин Гарднер в колонке «Математические игры» в журнале Scientific American в 1959 году.

Трое заключённых, А, В и С сидят в одиночных камерах и приговорены к смертной казни. Губернатор случайным образом выбирает одного из них и милует его. Стражник, охраняющий заключённых, знает, кто помилован, но не имеет права сказать этого.

• Будучи самым смелым, заключённый А просит стражника назвать ему имя того (В или С) заключённого, кто будет казнён.
• Заключённый А предлагает: «Если В помилован, скажи мне, что казнён будет С. Если помилован С, скажи, что казнён будет В. Если буду помилован я, подбрось монету и назови любое имя».
• Стражник отвечает заключённому А, что казнён будет заключённый В.

• Заключённый А взволнован, ведь теперь вероятность его выживания составляет 1 / 2, а не 1 / 3, так как кто-то из заключённых, А или С, будет помилован.
• Заключённый А тайно рассказывает заключённому С, что В будет казнён. Заключённый С также взволнован, поскольку он всё ещё полагает, что вероятность выживания заключённого А составляет 1 / 3, а его вероятность выживания возросла до 2 / 3.

Кто из них ошибается?

Ответ: Прав заключённый С.

1) Изначально все три узника имеют один шанс из трёх быть помилованными. Стражник сказал, что узник В будет казнён, а это означает, что события будут разворачиваться по одному из двух сценариев:

 – С будет помилован (1 шанс из 3)

– А будет помилован и монетка показала «В» (1 шанс из 6)

2) Это значит: шансы, что заключённый А будет помилован, составляют половину шансов того, что С будет помилован. А у заключённого В нет шансов быть помилованным.

3) Итак, вероятность А быть помилованным остаётся неименной – 1/3, в то время как вероятность С быть помилованным увеличивается до 2/3.

Если вы всё ещё сомневаетесь, взгляните на полный перечень шансов каждого заключённого:

А если взглянуть на пример, где стражник сообщает, что узник В будет казнён, мы увидим, что узник С имеет в два раза больше шансов быть помилованным, чем узник А:

Так как нам известно наверняка, что В имеет 0% шансов быть помилованным, и что С имеет в два раза больше шансов быть помилованными, нежели А, то:

Стражник сообщает, что В будет казнён

5. Идеальный параллелограмм из четырёхстороннего многоугольника

Нарисуйте четырёхсторонний многоугольник.

Он может быть любого размера, неправильной формы, вогнутый, выпуклый и т. д. Главное, чтобы он имел четыре угла и прямые стороны.

Отметьте точкой середину на каждой стороне многоугольника.

Соедините центральные точки между собой. Каждый раз у вас будет получаться идеальный параллелограмм.