Парадокс Зигеля, или тонкое искусство спекуляции

Для тех, кто не знает, что это за «зверь» - парадокс Зигеля, в нескольких словах, - как говорится, на пальцах, - его можно продемонстрировать следующим образом.

Пусть 20 февраля 2009 года за 1 евро давали 1.2591 доллара США; соответственно курс доллара к евро равнялся обратной величине, т.е. за 1 доллар США давали 0.7942 евро. Со временем евро укрепился и, скажем, 4 июня 2009 года за 1 евро стали давать уже не 1.2591, а 1.4305 доллара США; естественно, что при этом доллар по отношению к евро ослабел и стал стоить только 0.6991 евро.

Но вот какая удивительная штука получается: если евро укрепился на 100*(1.4305-1.2591)/1.2591=13.61%, то доллар за это же самое время упал только на 100*(0.6991-0.7942)/0.7942= -11.98%. То есть совокупное изменение курсов дает нам положительную разницу - плюс 1.63%. Спрашивается, можно ли положить эту разницу себе в карман?

Разумеется, Джереми Зигель формулировал этот парадокс более наукообразно, а не в такой шкурно-обывательской интерпретации. Если говорить научным языком, то парадокс Зигеля вытекает из того факта, что математическое ожидание величины, обратной обменному курсу, больше, чем величина, обратная математическому ожиданию обменного курса. Иначе говоря, если Е - это математическое ожидание, а С - обменный курс, то парадокс Зигеля сводится к следующему математическому выражению:

Е(1/С)>1/[Е(С)].

Однако смысл парадокса от его наукообразности не меняется. Кстати, забавную иллюстрацию этого парадокса приводит Марк Крицман в истории с алкогольными напитками (Mark P.Kritzman Puzzles of Finance, John Wiley & Sons, Inc, 2000). Для простоты и удобства устного счета он исходит из того предположения, что в какой-то начальный момент времени доллар и евро котируются один к одному. При этом он формулирует следующие исходные данные: он тратит на вино в год 7500 долларов, а его французский друг - 7500 евро; при этом бутылка вина в США стоит 30 долларов, а бутылка вина во Франции 30 евро. При таких условиях каждый может купить 250 бутылок в год, а вместе они потребляют 500 бутылок.

Однако, зная о парадоксе Зигеля и решив им воспользоваться, М. Крицман с другом пытаются увеличить потребление алкоголя. Для этого они делают вот что: Крицман переводит свои 7500 долларов в 7500 евро, а его друг свои 7500 евро в 7500 долларов, а после этого ждут, когда изменится валютный курс. Пусть со временем евро вырос до 1.25 доллара. Тогда Крицман делает обратную конвертацию своих 7500 евро в 9375 долларов и покупает на них 312.5 бутылок вина, а его приятель конвертирует свои 7500 долларов в 6000 евро и покупает 200 бутылок вина. Таким образом, не прибегая к обмену валюты, друзья потребили бы в год 500 бутылок, а, прибегнув к конвертации, они могут потребить в год 512.5 бутылок или по 256 бутылок с четвертью на брата. Это стало возможным благодаря тому, что евро вырос на 25%, тогда как доллар при этом упал только на 20%.

Понятно, что точно такой же результат друзья получили бы, если бы доллар вырос на 25%, а евро, соответственно, упал бы на 20%. Получается, что асимметрия изменения валютных курсов дает возможность извлекать ощутимую материальную выгоду, причем - и это самое замечательное - независимо от того, в какую сторону колеблются обменные курсы.

Ничто не мешает применять подобную схему вновь и вновь; главное, чтобы обменные курсы отличались от тех, которые действовали на момент установления цены на алкогольную продукцию. Данная схема будет приносить прибыль, пока цены на вино не изменятся, или изменятся, но в меньшей степени - недостаточной, чтобы перекрыть преимущества конвертации валют.

Разумеется, сообразительный читатель, особенно охочий до того, чтобы «принять на грудь», порадуется за приятелей и даже предложит еще лучший вариант - конвертировать все средства в валюту, которая упала (пусть это будет доллар США), что позволит приобрести (9375$+7500$)/30$=562.5 бутылки алкоголя вместо 512.5 бутылок.

Действительно, это возможно и максимизирует потребление вина. Но наша задача -продемонстрировать именно парадокс Зигеля. Кроме того, было еще одно условие, о котором не было сказано ранее, - оно касается так называемой полезности, если только это понятие применимо к спиртным напиткам. Дело в том, что сам М. Крицман предпочитает французское вино, тогда как его приятель «уважает» вино, изготовленное в Калифорнии. Если бы все средства были вложены в вино, произведенное в США, то приятель М. Крицмана был бы очень доволен, но сам М. Крицман не «заловил» бы от отечественного напитка того кайфа, как от французского вина. И было бы, соответственно, наоборот, если бы все средства конвертировались в евро.

В случае с парадоксом Зигеля баланс между французским и американским вином также нарушается (не 250 на 250, а 200 на 312.5), но все-таки каждый может попробовать и своего любимого вина.

Коль скоро мы завели речь о парадоксе, то читатель вправе ожидать какого-то подвоха, например, подобного тому, который заложен в парадоксе Зенона, суть которого сводится к тому, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, ибо, когда он добежит до места, где была черепаха час назад, она уползет вперед; когда он добежит до точки, в которой находилась черепаха полчаса назад, она опять продвинется дальше. Продолжая подобные рассуждения, мы придем к выводу, что черепаха всегда будет впереди Ахиллеса, хотя житейский опыт говорит нам, что это не так.

В парадоксе Зигеля кажется невероятным, что каждый житель земли может извлекать экономическую выгоду только потому, что валютные курсы колеблются. Если бы это действительно было так, то введение евро следовало бы рассматривать как несусветную глупость, ибо обращение единой валюты на множестве европейских стран блокирует для граждан этих стран возможность становиться богаче из-за межстрановых колебаний валютных курсов. Более того, следовало бы поступать наоборот: скажем, в США ввести свою валюту в каждом отдельном штате, равно как и в России - в каждой отдельной области. Между тем, ничего подобного мы не наблюдаем.

Кто-то может усмотреть подвох в том, что мы совершенно не учитывали влияние процентных ставок, или издержек, связанных с конвертацией валют, или транспортных расходов: мол, за морем телушка - полушка, да рубль перевоз. Все эти обстоятельства, безусловно, имеют значение, однако причина того, что асимметрия изменения валютных курсов может приносить реальную выгоду отдельным субъектам, заключается в том, что цены в обеих странах оставались постоянными (как это имело место в случае с вином). Если бы цены изменялись в соответствии с движением валютных курсов, то извлечь экономическую выгоду от асимметрии изменения валютных курсов не представлялось бы возможным.

Другими словами, если цена на что-то (самый разительный пример - другая валюта, отличная от евро и доллара США) быстро адаптируется к изменению курсов, то возможность извлечения экономической выгоды от асимметрии изменения валютных курсов исчезает.

Парадокс Зигеля не позволяет извлекать экономическую выгоду, если паритет покупательной способности не изменяется. Паритет покупательной способности представляет собой принцип, который базируется на том, что валютные курсы подстраиваются так, чтобы стоимость одинаковых товаров и услуг оставалась прежней во всех странах, а это подразумевает, что изменения валютных курсов покрывают соответствующий уровень инфляции. Нарушение паритета покупательной способности может возникать и наблюдаться продолжительное время в связи с тем, что потребительские предпочтения различны в разных странах, а также в силу того, что существуют торговые барьеры. То есть разница цен, не являющаяся временной и не поддающаяся устранению посредством предпринимательской деятельности, всегда есть результат некоего препятствия, блокирующего внутреннюю тенденцию к выравниванию. Обыкновенно считается, что в долгосрочной перспективе можно ожидать, что товарный арбитраж и арбитраж услуг вынудят валютные курсы и цены сойтись в одной точке.

В то же время волнение на рынке никогда не прекращается. Никогда не может возникнуть ситуация, при которой сумма цен комплиментарных факторов производства с соответствующей поправкой на временнόе предпочтение будет равна ценам конечной продукции, и нельзя будет ждать последующих изменений.

Кроме того, колебания цен нередко возникают как результат деятельности монетарных властей. Как известно, рост цен оказывает влияние на различные товары и услуги в разное время и в разной степени. А возможность заработать на разнице цен постоянно привлекает спекулянтов. В этой связи следует признать, что питательная почва для получения прибылей, базирующихся на парадоксе Зигеля, будет существовать практически всегда, за исключением условий социализма - вспомните СССР со стабильными ценами и уголовным преследованием за спекуляцию. Но поскольку социализм себя дискредитировал, надежды на стабильность цен выглядят слишком иллюзорно.

Парадокс Зигеля и связанные с ним явления обсуждались различными авторами, тем не менее, они так и не сделали заключительного вывода о теоретическом значении парадокса. Впрочем, это не помешало многим авторам признать его ограниченную практическую применимость. Даже сам Зигель говорил, что прибыли, которые предполагает его парадокс, «эмпирически не значимы».

В то же время есть авторы (например, Hans-Werner Sinn), несогласные с этой точкой зрения, которые считают парадокс Зигеля одной из фундаментальных причин, побуждающих людей к спекуляции. Парадокс Зигеля предполагает, что ценовая хаотичность по существу является источником будущих прибылей. Нет никакой надобности, чтобы цены повышались или падали систематически с течением времени. Как закупка товара в настоящее время и продажа его позднее, так и покупка его на форвардном рынке и продажа его на будущем рынке наличного товара во многих случаях может принести прибыль.

Кстати, говоря о подвохе, заложенном в парадоксе Зигеля, уместнее было бы сослаться не на парадокс Зенона, а на другой парадокс - парадокс конвертов. Именно парадокс конвертов нагляднее всего иллюстрирует, в какой связи возникает стремление к спекуляции. Данный парадокс заключается в следующем.

Имеются два конверта - зеленый и красный. В одном х долларов, в другом 2х; однако вы не знаете, в каком конверте какая сумма, а также не знаете значения х. Случайным образом у вас в руках оказывается один конверт, скажем, зеленый и, открыв его, вы обнаруживаете в нем некоторую сумму, к примеру, у. Из этого вы делаете вывод, что в красном конверте содержится сумма либо у/2, либо 2у, причем с равными вероятностями ½. Поскольку математическое ожидание суммы в красном конверте (1/2)*2у + (1/2)*(у/2) = (5/4)*у, т.е. больше того, что вы имеете (у), то у вас возникает естественной желание обменять зеленый конверт на красный. Однако парадоксальность ситуации заключается в том, что тот, кому достанется красный конверт будет рассуждать точно также, а потому захочет обменять красный конверт на зеленый. Обратите внимание, что, хотя, скорее всего, в результате обмена конвертов один из участников этой операции будет визжать от восторга, а другой - рвать на себе волосы, тем не менее, весомый мотив «спекульнуть» возникает у каждого (причем в равной степени) вследствие, якобы, благоприятного математического ожидания результата сделки.

Чтобы увидеть связь с парадоксом Зигеля, представьте, что у вас есть у долларов, которые вы сегодня можете конвертировать в евро по курсу 1 к 1, а завтра выполнить обратную конвертацию, но уже по курсу либо 1 к 2, либо 2 к 1, причем с равными вероятностями ½. Разумеется, вы захотите совершить подобную манипуляцию, поскольку математическое ожидание ее результата будет (5/4)*у, т.е. больше у долларов. Но точно также будет рассуждать и владелец у евро. И он тоже захочет провернуть подобную операцию.

А теперь представьте, что у вас есть портфель, в котором у долларов и у евро. Тогда в качестве первой стратегии вы можете сегодня перевести все ваши доллары в евро, а завтра осуществить обратную конвертацию, в результате чего вы надеетесь поиметь новый портфель, математическое ожидание величины которого составит((5/4)*у долларов + у евро).

В качестве второй стратегии можно предложить перевод всех евро в доллары сегодня и осуществить обратную конвертацию завтра, рассчитывая получить портфель с математическим ожиданием (у долларов + (5/4)*у).

Ничто не мешает нам теперь комбинировать обе альтернативные стратегии, т.е. начиная с портфеля (у долларов и у евро), каждый период переводить все доллары, которые мы имеем в евро, а все евро, которые мы имеем, в доллары, что собственно и было проиллюстрировано в начале статьи.

Кто-то может сказать, что обратная конвертация на другой день по курсу 1 к 2 или 2 к 1 - это натяжка, поскольку столь резкое изменение курсов возможно только в случае резкой девальвации; по этой причине далее мы будем говорить о временном периоде t и изменении курса в отношении 1 к а или а к 1, (где а>1) с вероятностью ½.

Тогда, начиная с портфеля (у долларов и у евро), по истечении периода t мы надеемся получить портфель, математическое ожидание величины которого будет равно значению (b₁*у долларов и b₁*у евро), где:

b1 = (1/2)*a + (1/2)*(1/a) > 1 при a > 1 (а по условию а > 1, см. выше).

В том случае, если присутствуют операционные издержки, мы выполняли бы только агрегированные сделки. Заметим, что пока имеет место стохастический процесс, никакие операционные издержки не могут предотвратить прибыль. Просто придется выполнять сделку только каждый n-й период, где n достаточно велико.

После n-го периода математическое ожидание величины портфеля составит

(b_n*у долларов и b_n*у евро), где

Нетрудно показать, что при достаточно больших значениях n величина b_n > n*[1-1/(2a)], а выражение в правой части неравенства, в свою очередь, больше 1.

Интересно, что если в портфеле, состоящем из (у долларов и у евро), заменить доллары обыкновенными акциями и интерпретировать а как цену акций, то можно увидеть, что та же самая стратегия должна быть прибыльна не только на валютных рынках, но и на всех рынках с регулярной торговлей, т.е. в течение бесконечного количества периодов. Вот на опционных рынках, на которых актив полностью теряет свою стоимость после определенной даты, парадокс Зигеля исчезает. Из этого порой делается вывод о том, что необходимым предварительным условием для парадокса Зигеля, является безграничный временной горизонт. Поэтому-то актив должен иметь внутренне присущую ему стоимость, чтобы она не могла упасть до нуля. Однако в случае ограниченного объема акций (а оно ограничено естественным образом объемом эмиссии) после n-го периода станет очевидной коллизия, связанная с владением, а точнее с нехваткой b_n*y количества акций. Именно этот факт часто называют одним из обстоятельств, которое препятствует «выкачивать» доходы из парадокса Зигеля всем и каждому.

Возникает вопрос, за счет чего «пухнет» портфель спекулянта, т.е. возрастает его богатство, в условиях извлечения доходов на основе парадокса Зигеля? Считается, что богатство притекает за счет новых участников, которые входят в рынок, возможно, по тем же самым соображениям и, используя те же самые стратегии, которые используют участники, уже находящиеся в рынке. Собственно говоря, отсюда и вытекает известная сентенция о том, что «прилив поднимает все корабли и лодки». Однако, как известно, деревья не растут до небес - рано или поздно прилив иссякает и начинается отлив. И тогда пузырь, который раздувался, лопается, а пирамида, которая выстраивалась, рушится.

Но значит ли, что при этом исчезает хаотичность изменения валютных курсов? Если исходить из того, что валютные курсы следовали случайному блужданию, а в какой-то момент времени Т это случайное блуждание было нарушено, например, с момента Т обменный курс имеет фиксированное значение а*, то возможность получения прибылей на основании парадокса Зигеля исчезает. Это понятно. Но ведь когда рушится пирамида или лопается пузырь, валютные курсы не прекращают своих изменчивых колебаний. Почему же в таком случае парадокс Зигеля должен перестать генерировать доходы? Только ли потому, что предложение денег ограничено?

Кстати сказать, рассматривая подобную модель, некоторые авторы из-за возникающих при этом вопросов и сложностей делают вывод о том, что цены на обыкновенные акции, равно как и динамика изменения валютных курсов, не могут быть описаны случайным блужданием. Это камень в огород тех, кто считает, что технический анализ, который широко применяют многие аналитики и трейдеры, - пустое шаманство, а движение цен и валютных курсов подвержено случайному блужданию. (Напомним, что между приверженцами технического анализа и сторонниками случайного блуждания цен  идет непримиримая «война»).

Короче говоря, следует признать, что в исследовании парадокса Зигеля все точки над i еще не расставлены, а вопрос о том, действительно ли данный парадокс является фундаментальной причиной спекуляций, общепризнанного ответа не имеет.