И Рене Декарт, в работе "Правила для руководства ума", и Леонард Эйлер, в работе "Интегральное исчисление", обращали внимание своих читателей на то, что в математику приходят люди, которые пытаются свое недопонимние смысла этого предмета завуалировать создаваемыми ими некими воображаемыми объектами, которые невозможно осознанно идентифицировать с объектами действительного мира. Эти воображаемые объекты соединяются с объектами реального мира и на этом фундаменте производятся построения теоретической части матанализа.
Я в своем блоге подробно останавливался на анализе этих предупреждений. В этой статье я хочу акцентировать внимание на четырех моментах, которые размывают суть двух взаимообратных математических действий: дифференцирования и интегрирования.
1. В основной теореме математического анализа заложена ошибка, которая привела к тому, что два алгоритма дифференцирования: по частному (∂x) и по полному (dx) дифференциалам имеют не два соответствующих обратных действия интегрирования: по частному и по полному дифференциалу, а одно: неопределенное, которое противоречит результату практического опыта под названием "Бином Мишина" (подробнее в блоге).
Исходя из результата этого опыта, действий, обратных дифференцированию, с неуказанными пределами интегрирования, тоже должно быть два. По частному и по полному дифференциалу:
2. Рене Декарт, на основе двух методологических объектов: порядка и меры, показал различие в исследовании топологических и геометрических объектов как элементов множества и элементов непрерывности.
При изучении множеств точки используются для фиксации мысли на отдельном элементе множества. То есть, элементом меры множества являются точки с вложенными в них количественными характеристиками и их количество. Линии же используются, в этом случае, как элементы порядка и их длины (количественные показатели) не играют для исследования множеств никакой роли. Они используются только как разграничители между элементами различных множеств.
Декарт придумал плоскость в которой пары чисел, являющиеся значениями аргумента и функции, изображаются топологической точкой, в которой заложено численное значение производной. Подробное описание есть в моем блоге.
Линия, называемая графиком функции, к самой функции не имеет никакого отношения. Ее длина не является элементом меры. Эта воображаемая линия показывает порядок расположения топологических точек. Но у этой линии есть геометрический аналог, в котором длина есть элемент меры. Я показывал этот аналог в различных своих статьях, посвященных моим попыткам "достучаться" до МинОбрНауки и Академии наук РФ (в этой статье показано ниже в гиф-файле). Но, люди, кормящиеся математикой в этих учреждениях, похоже, не обладают интеллектуальными способностями к индивидуальному анализу. Они считают высшим достижением своего разума способность к пересказу учебников, написанных теми, о ком предупреждали Декарт и Эйлер.
В свое время было принято показывать физический и геометрический смысл (аналог) любого аналитического математического объекта.
В алгоритме математического действия дифференцирования, как и в любом другом математическом действии, присутствуют три аналитических объекта, имеющие свое порядковое место в алгоритме выполнения этого действия.
Например, в алгоритме действия: "вычитание" для соответствующих аналитических объектов используются однозначно трактуемые алгоритмические названия вычитания: уменьшаемое, вычитаемое, разность.
При делении: делимое, делитель, частное.
При дифференцировании: дифференцируемая функция, аргумент дифференцирования, производная.
При интегрировании: подынтегральная функция, аргумент интегрирования, первообразная.
Словом "производная" называют результат математического действия: "дифференцирования". Алгоритм этого действия определен как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при устремлении этого приращения к нулю. Этот результат, в общем виде, является функцией, как и исходный алгоритмический объект: "дифференцируемая функция".
Открываем Википедию:
У топологических точек нет окрестностей. В окрестности топологической точки лежат другие топологические точки, являющиеся элементами рассматриваемого множества.
Я в "биноме Мишина" показал, множителем каких именно аналитических объектов являются соответствующие значения производной на примере степенной функции (смотреть в соответствующих статьях моего блога).
3. Читаем Википедию дальше:
Функция - это математический объект, значения которого зависят от значений другого математического объекта: аргумента. Эта зависимость может быть дискретной, аналоговой, либо смешанной.
В официальной современной версии матанализа позиционируются три способа задания функции: аналитический (формулой), табличный или геометрический.
Декартова плоскость служит для топологической визуализации табличного способа задания функции, в котором пары значений функции и аргумента изображаются топологической точкой с соотетствующими, этим значениям, координатами. Каждая такая топологическая точка содержит в себе значение производной при соответствующем значении аргумента.
Чтобы уяснить логическую связь аналитического объекта с соответствущими ему геометрическим и топологическим объектами, я привел пример функции y=x2. Для просмотра кликнуть на слово "пример":
Зависимость не имеет изменений и скорости. Воображаемая линия на Декартовой плоскости, составленная из топологических точек, визуализирующая множесто пар чисел не имет никакого отношения к функции, график которой изображается и не является тректорией движения математической точки. Это - иллюзия. Эта линия является элементом порядка расположения точек в соответствии с подстановкой: "значения переменной - количество единичных отрезков на числовой оси".
Математически скорость - есть функция двух аргументов: пути и времени. То есть, это отношение двух переменных, причем независимых переменных. Действие дифференцирования - это тоже отношение. Но, по определению, это предел отношения зависимых пременных: дифференцируемой фунции и аргумента дифференцирования. Да, дифференцировать можно произведение параметра и аргумента по этому же аргументу. Тогда производная будет равна исходному параметру. Но это частный случай дифференцирования и его методологически неверно давать при объяснении общего вида отыскания производной.
Топологическая линия графика делит площадь прямоугольника на две интегральные площади в соответствии с формулой интегрирования по частям. Эти две интегральные площади имеют геометрический аналог в стереометрии в соответствии с выражением: x*x2=x3=1/3x3+2/3x3.
Я показал этот аналог ребятам из минорбрнауки и академии наук. Но их интеллектуального потенциала не хватило на "переваривание" такого объема информации, отсутствующей в книжках под названием: "учебники".
4. Читаем, например, здесь:
О чем речь? Смысл производной состоит в том, что это - результат действия дифференцирования. При использовании подстановки: "значение переменной - количество единичных отрезков на числовой оси", топологическая точка (элемент множества), представляющая собой визуализацию пары: значение аргумента-значение функции, рассмотренная как точка геометрическая, есть производная длины линии по дифференциалу протяженности (подробнее в моем блоге). Но так как ординатный отрезок - это значение функции в результате подстановки, показанной выше, то конец этого отрезка - топологическая точка, содержащая в себе значение производной при данном значении аргумента (показано выше в гиф-файле).
Это значение - есть число, так как рассматриваемая функция числовая. Значит, рассматривается одно значение функции, являющейся результатом дифференцирования. То есть, численное значение производной при одном произвольном значении аргумента.
В то же время, для нашего примера рассматриваемой функции, отношение приращения функции к приращению аргумента есть сумма: x22 - x12/x2 - x1 = x2 + x1.
Если в результате примененной подстановки приращение функции визуализировано длиной вертикального отрезка, а приращение аргумента - горизонтальным, то результат их отношения будет равен сумме двух отрезков: x2 + x1.
Точки на линии графика с соответствующими абсциссами: x2 и x1 можно соединить геометрическим отрезком, а отрезок продлить и назвать секущей. Так как эта геометрическая линия будет иметь с топологической линией графика две общие точки.
То есть топологический мерный объект, равный значению производной при заданном значении аргумента, визуализированный топологической точкой, предлагается совместить с геометрическим объектом порядка (две точки фиксируют расположение геометрической линии).
Это совмещение визуальное, не имеющее математической функциональности потому, что элемент меры не является элементом порядка, и наоборот. На основании этого совмещения и на основании совмещения двух точек графика в одну точку, названную точкой касания, результатом совмещения будет являться появление вместо двух различных отрезков (x2 + x1) два одинаковых (x+x=2x):
Это есть мысленная интерпретация получения производной в соответствии с аналитическим алгоритмом дифференцирования. Но здесь нет "касательной" и угла наклона ее к оси аргументов. Эту линию можно легко получить даже без начертания линии графика. Для этого достаточно определить аргумент точки будущего "касания" и задать произвольное значение приращения аргумента.
По формуле производной, подставляя значение аргумента, вычисляется значение топологической точки графика. Из этой точки чертится горизонтальный отрезок, равный приращению аргумента. Из второго конца этого отрезка чертится вертикальный отрезок вверх длиной, равной произведению вычисленного значения производной в будущей точке "касания" на приращение аргумента, и верхний конец этого отрезка и будет второй точкой для начертания линии, котороую можно, с полной уверенностью, называть касательной потому, что эта линия будет иметь с линией графика одну общую точку в некотором пространственном приближении. Эта линия даст некий угол с осью аргументов, а отношение построенных вертикального и горизонтального отрезков можно с полной увереннностю назвать тангенсом полученного угла. Таким образом получается одно и то же число, названное двумя различными алгоритмами его "вычисления".
Первый алгоритм: подстановка в формулу производной соответствующего значения аргумента, выбранного произвольно.
Второй алгоритм: получение, с помощью этого числа двух отрезков, отношение которых даст это же самое исходное число.
Только есть один нюанс: производная - это результат дифференцирования, а тангенс - это функция угла. Равенство двух чисел не дает основания считать функцию тангенса геометрическим смыслом результата дифференцирования...
P.S. Дифференциал - есть элемент порядка, а не меры. Приращение - есть элемент меры. Поэтому все попытки "вычисления" дифференциала абсурдны. Геометрическая интерпретация дифференциала как части приращения функции противоречит практическому опыту под названием "бином Мишина". Квалификация этого бинома как разновидности бинома Ньютона интеллектуально ничтожна. Потому, что функция "факториал" не является аналогом взаимообратности действий дифференцирования и интегрирования. Нет никаких доступных преобразований, которые позволили бы из формулы бинома Ньютона получить бином Мишина. Подробности в моем блоге в соответствующих статьях.